[논문 리뷰] Commutators of relative and unrelative elementary unitary groups

N. A. Vavilov, Zuhong Zhang|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 01.

Finite Group Theory Research참고 문헌 66인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 바크의 유니터리 군에서 혼합 교환자 부분군 $[\operatorname{EU}(2n,I,\Gamma), \operatorname{EU}(2n,J,\Delta)]$ 이론이 유니터리 군의 기본 교환자와 기본 코너지에 의해 유일하게 생성됨을 증명하며, 추가로 명시되지 않은 생성자들이 필요로 하지 않음을 보여준다. 또한, 상대적이지 않은 교환자 공식 $[\operatorname{FU}(2n,I,\Gamma), \operatorname{FU}(2n,J,\Delta)] = [\operatorname{EU}(2n,I,\Gamma), \operatorname{EU}(2n,J,\Delta)]$를 증명하여, 형 링 위에서의 유니터리 교환자 계산 이론에서 이전의 결과들을 통합하고 단순화한다.

ABSTRACT

In the present paper we find generators of the mixed commutator subgroups of relative elementary groups and obtain unrelativised versions of commutator formulas in the setting of Bak's unitary groups. It is a direct sequel of our similar results were obtained for $GL(n,R)$ and for Chevalley groups over a commutative ring with 1, respectively. Namely, let $(A,Λ)$ be any form ring and $n\ge 3$. We consider Bak's hyperbolic unitary group $GU(2n,A,Λ)$. Further, let $(I,Γ)$ be a form ideal of $(A,Λ)$. One can associate with $(I,Γ)$ the corresponding elementary subgroup $FU(2n,I,Γ)$ and the relative elementary subgroup $EU(2n,I,Γ)$ of $GU(2n,A,Λ)$. Let $(J,Δ)$ be another form ideal of $(A,Λ)$. In the present paper we prove an unexpected result that the non-obvious type of generators for $\big[EU(2n,I,Γ),EU(2n,J,Δ)\big]$, as constructed in our previous papers with Hazrat, are redundant and can be expressed as products of the obvious generators, the elementary conjugates $Z_{ij}(ab,c)=T_{ji}(c)T_{ij}(ab)T_{ji}(-c)$ and $Z_{ij}(ba,c)$, and the elementary commutators $Y_{ij}(a,b)=[T_{ji}(a),T_{ij}(b)]$, where $a\in(I,Γ)$, $b\in(J,Δ)$, $c\in(A,Λ)$. It follows that $\big[FU(2n,I,Γ),FU(2n,J,Δ)\big]= \big[EU(2n,I,Γ),EU(2n,J,Δ)\big]$. In fact, we establish much more precise generation results. In particular, even the elementary commutators $Y_{ij}(a,b)$ should be taken for one long root position and one short root position. Moreover, $Y_{ij}(a,b)$ are central modulo $EU(2n,(I,Γ)\circ(J,Δ))$ and behave as symbols. This allows us to generalise and unify many previous results,including the multiple elementary commutator formula, and dramatically simplify their proofs.

연구 동기 및 목표

• 상대적 기본 유니터리 군의 혼합 교환자 부분군에서 명시되지 않은 생성자들의 중복 문제를 해결하기 위해.
• 바크의 유니터리 군의 맥락에서 상대적이지 않은 교환자 공식을 수립하기 위해.
• 형 링 위에서의 다중 기본 교환자 공식을 중심적 성질을 이용해 일반화하고 단순화하기 위해.
• 특히 바크 및 하자트와의 공동 연구에서 이전에 얻어진 결과들을 통합하고 강화하기 위해.
• 미래의 스티븐베르그 군, 기껏 유니터리 군, 그리고 유니터리 맥락에서의 유한한 교환자 길이에 대한 기초를 마련하기 위해.

제안 방법

• 저자들은 바크의 하이퍼볼릭 유니터리 군 $\operatorname{GU}(2n,A,\Lambda)$ 내에서 혼합 교환자 부분군 $[\operatorname{EU}(2n,I,\Gamma), \operatorname{EU}(2n,J,\Delta)]$의 구조를 분석한다.
• 이전에 명시되지 않은 생성자로 간주되었던 것이, 기본 코너지 $Z_{ij}(ab,c)$ 및 $Z_{ij}(ba,c)$와 기본 교환자 $Y_{ij}(a,b) = [T_{ji}(a), T_{ij}(b)]$의 곱으로 표현될 수 있음을 보여준다.
• 증명은 $Y_{ij}(a,b)$ 가 $\operatorname{EU}(2n,(I,\Gamma)\circ(J,\Delta))$ 모odulo에서 중심적 성질을 가지며, 교환자 계산에서 기호로 취급될 수 있음을 기반으로 한다.
• 분석은 장근 및 단근 위치로 확장되며, 생성자는 형 아이디얼 $(I,\Gamma)$ 및 $(J,\Delta)$의 원소들로 명시적으로 매개화된다.
• 이전의 $\operatorname{GL}(n,R)$ 및 치벨리 군에 관한 연구 기법을 응용하여, 상대적 국소화와 교환자 항등식을 사용한다.
• 결과는 형 링 $(A,\Lambda)$ 및 형 아이디얼 $(I,\Gamma)$, $(J,\Delta)$의 구조적 성질을 이용하여 유도되며, $n \geq 3$ 이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 혼합 교환자 부분군 $[\operatorname{EU}(2n,I,\Gamma), \operatorname{EU}(2n,J,\Delta)]$의 명시되지 않은 생성자들은 유니터리 군의 기본 코너지와 기본 교환자로만 표현될 수 있는가?
• RQ2 임의의 가환 형 링에서 상대적이지 않은 교환자 공식 $[\operatorname{FU}(2n,I,\Gamma), \operatorname{FU}(2n,J,\Delta)] = [\operatorname{EU}(2n,I,\Gamma), \operatorname{EU}(2n,J,\Delta)]$가 성립하는가?
• RQ3 기본 교환자 $Y_{ij}(a,b)$는 합동 부분군 모odulo에서 어떻게 행동하는가? 기호 생성자로 사용될 수 있는가?
• RQ4 결과들은 기껏 유니터리 군과 유니터리 스티븐베르그 군으로 얼마나 일반화될 수 있는가?
• RQ5 $[\operatorname{GU}(\Phi,A,I), E(\Phi,A,J)]$에서의 교환자 길이에 대해 고정된 상한이 존재하는가, 이는 링 $A$에 관계없이 성립하는가?

주요 결과

• 혼합 교환자 부분군 $[\operatorname{EU}(2n,I,\Gamma), \operatorname{EU}(2n,J,\Delta)]$의 명시되지 않은 생성자는 불필요하며, 기본 코너지 $Z_{ij}(ab,c)$, $Z_{ij}(ba,c)$ 및 기본 교환자 $Y_{ij}(a,b)$의 곱으로 표현될 수 있다.
• 상대적이지 않은 교환자 공식이 성립한다: $[\operatorname{FU}(2n,I,\Gamma), \operatorname{FU}(2n,J,\Delta)] = [\operatorname{EU}(2n,I,\Gamma), \operatorname{EU}(2n,J,\Delta)]$.
• 기본 교환자 $Y_{ij}(a,b)$는 $\operatorname{EU}(2n,(I,\Gamma)\circ(J,\Delta))$ 모odulo에서 중심적 성질을 가지며, 기호 생성자로 사용될 수 있다.
• 결과는 다중 기본 교환자 공식을 일반화하고 단순화하여, 유니터리 교환자 계산 이론에서 이전의 결과들을 통합한다.
• 결과는 장근 및 단근 위치로 확장되며, 생성자는 형 아이디얼의 원소들로 매개화된다.
• 이 작업은 향후 유한한 교환자 길이 및 기껏 및 스티븐베르그 유니터리 군으로의 일반화에 대한 연구를 위한 기반을 마련한다.