[논문 리뷰] Commuting Local Hamiltonians on Expanders, Locally Testable Quantum codes, and the qPCP conjecture

Nelson, Jon, Gottesman, Daniel|arXiv (Cornell University)|2013. 01. 15.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 44인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 상호작용 그래프에서의 소집합 확산과 상호작용하는 국소 해밀토니안(클래스 CLH)의 지구 상태 에너지 근사화의 복잡도 사이의 연결고리를 설정한다. 더 나아가, 더 나은 확산성을 가진 그래프일수록 근사 문제를 더 쉽게 만들며, 최적 확산의 O(ε) 범위 내에서 문제를 NP에 포함시킨다. 또한 이는 국소적으로 검증 가능한 양자 코드(LTC)의 강건성과도 연결되며, 열악한 확산은 코드의 강건성을 떨어뜨린다고 증명한다. 이와 함께 양자 PCP의 지근성에 대한 연구를 시작하여, 양자 PCP 추측에 대한 근본적인 제약 조건을 부각시킨다.

ABSTRACT

In this work we study a variant of the local Hamiltonian problem where we restrict to Hamiltonians that live on a lattice and are invariant under translations and rotations of the lattice. In the one-dimensional case this problem is known to be QMA_EXP-complete. On the other hand, if we fix the lattice length then in the high-dimensional limit the ground state becomes unentangled due to arguments from mean-field theory. We take steps towards understanding this complexity spectrum by studying a problem that is intermediate between these two extremes. Namely, we consider the regime where the lattice dimension is arbitrary but fixed and the lattice length is scaled. We prove that this rotation-invariant Hamiltonian problem is QMA_EXP-complete answering an open question of [Gottesman and Irani, 2013]. This characterizes a broad parameter range in which these rotation-invariant Hamiltonians have high computational complexity.

연구 동기 및 목표

• k-국소 상호작용하는 양자 해밀토니안(클래스 CLH)의 지구 상태 에너지 근사화의 복잡도를 이해하고, 특히 양자 PCP 추측과의 관계를 밝히는 것.
• 특히 상호작용 그래프의 확산 성질이 코드 안정성에 미치는 영향을 고려하여, 안정자 코드 기반의 국소적으로 검증 가능한 양자 코드(LTC)의 강건성에 대해 연구하는 것.
• 고전적 PCP의 지근성에 대한 양자 버전을 탐구하고, 그 결과로 양자 LTC 및 qPCP 추측에 미치는 영향을 분석하는 것.
• 확산, 코드 강건성, 해밀토니안 근사화 간의 상호작용을 분석함으로써, 양자 PCP 추측에 대한 근본적인 제약 조건을 규명하는 것.

제안 방법

• 최적에 가까운 소집합 확산 ε를 가진 그래프 상의 CLH 근사 복잡도를 분석하여, 문제의 해가 최적 에너지의 O(ε) 범위 내에서 NP에 속한다는 것을 증명한다.
• 상호작용 그래프의 재귀적 구조(Γ(t)(u) 집합을 통해)를 이용하여 오류 무게를 제한하고, 안정자 군에 모odulo된 오류의 하한을 유도한다.
• Chernoff 및 Hoeffding 부등식을 적용하여 오류 무게 분포를 제어하고, 높은 확률로 안정자 군에 모odulo된 오류 무게가 p|S| 근처에 집중됨을 보여준다.
• 안정자 코드의 강건성에 대한 고전적 결과와 양자 특화된 결과를 결합하여, 양자 LTC의 강건성에 대한 일반적인 상한을 유도한다.
• 양자 PCP의 지근성에 대한 프레임워크를 도입하며, 고전적 PCPP와 유사성을 부각하고, 이러한 구성이 양자 LTC를 유도할 수 있음을 제안한다.
• C*-대수 이론과 확산 그래프 이론의 기법을 활용하여, CLH 지구 상태 내의 얽힘과 비국소성을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 CLH 인스턴스의 상호작용 그래프에서의 소집합 확산은 그 지구 상태 에너지 근사화의 복잡도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 상호작용 그래프의 확산 성질이 CLH에서 유도된 안정자 코드의 강건성에 얼마나 큰 영향을 미치는가?
• RQ3 양자 PCP의 지근성은 구성 가능할 수 있으며, 만약 가능하다면 그와 양자 LTC의 존재성 및 매개변수와의 관계는 어떠한가?
• RQ4 특히 CLH와 양자 코드의 맥락에서, 확산이 양자 PCP 추측에 대해 유도하는 근본적인 제약 조건은 무엇인가?

주요 결과

• CLH 인스턴스의 상호작용 그래프가 소집합 확산 ε를 최적에 가깝게 가지면, 지구 상태 에너지를 O(ε) 범위 내에서 근사화하는 문제는 NP에 속한다.
• 양자 LTC의 강건성은 보다 좋은 확산 성질을 가질수록 감소하는 함수로 제한되며, 이는 고확산 그래프에서 강건성이 낮은 코드가 유도됨을 시사한다.
• 임의의 상호작용 그래프를 가진 모든 CLH에 대해, 해당하는 양자 LTC의 강건성은 그래프의 확산 성질에 따라 정의되는 함수로 상한이 존재한다.
• 논문은 안정자 군에 모odulo된 오류의 무게가 높은 확률로 p|S| 근처에 집중됨을 증명하여, 강건성 분석을 가능하게 한다.
• 특정 오류의 강건성은 r ≤ α(1 − γgap)로 제한되며, 여기서 γgap는 코드의 국소성 k에 의존하는 갭 매개변수이다.
• 결과적으로, 소집합 확산 그래프를 생성하는 PCP 구성(예: Dinur의 구성)은 CLH에 대한 양자 PCP 정리를 증명하는 데 사용될 수 없다는 것이 제안된다.