[논문 리뷰] Compact and discrete subgroups of algebraic quantum groups I

Magnus B. Landstad, Alfons Van Daele|ArXiv.org|2007. 02. 15.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 16인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 대수적 양자군의 프레임워크 내에서 군-유사 프로젝션과 그에 관련된 ∗-서브대수를 통해 압축된 양자 부분군을 도입하고 연구한다. 양자군의 비아벨성에 기반한 딱두성과 구조 이론의 기초를 제공하기 위해, 대수적 양자군 내의 왼쪽 불변 ∗-서브대수는 국소 단위를 갖는다는 것을 증명하고, 코멀티플리케이션의 오른쪽 다리를 통한 불변 조건으로 특징지어진다.

ABSTRACT

Let $G$ be a locally compact group. Consider the C$^*$-algebra $C_0(G)$ of continuous complex functions on $G$, tending to 0 at infinity. The product in $G$ gives rise to a coproduct $Δ_G$ on the C$^*$-algebra $C_0(G)$. A locally compact {\it quantum} group is a pair $(A,Δ)$ of a C$^*$-algebra $A$ with a coproduct $Δ$ on $A$, satisfying certain conditions. The definition guarantees that the pair $(C_0(G),Δ_G)$ is a locally compact quantum group and that conversely, every locally compact quantum group $(A,Δ)$ is of this form when the underlying C$^*$-algebra $A$ is abelian. Assume now that $G$ is a locally compact group with a compact open subgroup $K$. The algebra of complex functions on $G$ of {\it polynomial type} is a dense multiplier Hopf $^*$-algebra with positive integrals (i.e. an algebraic quantum group}. The characteristic function of $K$ is a group-like projection in this algebraic quantum group. In this paper, we study group-like projections in an arbitrary algebraic quantum group. We find several associated objects that generalize the classical objects associated to a compact open subgroup of a locally compact group.

연구 동기 및 목표

• 대수적 양자군 내에서 군-유사 프로젝션을 사용하여 압축된 양자 부분군을 특징짓는다.
• 정규 승수 호프 ∗-대수에서 왼쪽 불변 ∗-서브대수를 정의하고 분석한다.
• 비자명한 왼쪽 불변 ∗-서브대수 내에 국소 단위의 존재를 확립하여 단위성과 승수대수에의 통합을 보장한다.
• 코멀티플리케이션의 오른쪽 다리와 불변 조건 간의 관계를 명확히 하여 대수적 구조와 양자군 딱두성 간의 연결을 맺는다.
• 전혀 분리된 양자군 이론과 국소 콪 pact 양자군으로의 일반화를 위한 토대를 마련한다.

제안 방법

• 대수적 양자군을 모델링하기 위해 양측 적분이 양수인 정규 승수 호프 ∗-대수의 개념을 사용한다.
• 왼쪽 불변 ∗-서브대수 C를 Δ(C)의 오른쪽 다리가 C에 포함되는 조건을 만족하는 것으로 정의함으로써, 코멀티플리케이션에 대한 불변성을 보장한다.
• 오른쪽 불변 적분 ψ를 적용하여, 임의의 유한 집합 {a_i} ⊂ A에 대해 a_i e = a_i 를 만족하는 국소 단위 e ∈ C 를 구성한다.
• Δ(C) ⊆ M(A ⊗ C) 이며, ψ의 충실성에 의해, xC ⊆ C 를 만족하는 원소 x 가 C 에 속함을 보인다.
• ⟨a_{(1)}, b⟩ a_{(2)} ∈ C 를 모든 b ∈ B 에 대해 만족하는 최소 부분공간 C 로 Δ(a)의 오른쪽 다리를 특징지어 정의한다.
• 국소 단위의 존재에 의해 A 가 C-양측 모듈로서의 단위성을 확보하고, M(C) 가 M(A) 에 단사로 통합됨을 보여 M(C) ⊆ M(A) 를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대수적 양자군 내에서 압축된 양자 부분군을 특징짓는 조건은 무엇인가?
• RQ2 정규 승수 호프 ∗-대수의 맥락에서 왼쪽 불변 ∗-서브대수는 어떻게 정의되고 특징지어지는가?
• RQ3 코멀티플리케이션의 오른쪽 다리가 불변성과 대수적 구조를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 왼쪽 불변 서브대수 내의 국소 단위는 어떻게 단위성과 승수대수와의 호환성을 보장하는가?
• RQ5 이러한 구성은 어떻게 완전히 분리된 국소 콱 pact 양자군 이론으로 일반화되는가?

주요 결과

• 정규 승수 호프 ∗-대수에서 비자명한 왼쪽 불변 ∗-서브대수 C 는 비퇴화된 곱을 가지며, AC = A = CA 를 만족한다.
• Δ(C) 의 오른쪽 다리가 C 에 포함되는 것과 Δ(C) ⊆ M(A ⊗ C) 이며 C 가 국소 단위를 갖는 것은 동치이다.
• 임의의 A 내의 유한 집합 {a_i} 에 대해 a_i e = a_i 를 만족하는 e ∈ C 가 존재하므로, C 내에 국소 단위의 존재가 증명된다.
• Δ(a) 의 오른쪽 다리는 모든 b 가 밀도 있는 부분공간 B 에 속할 때 ⟨a_{(1)}, b⟩ a_{(2)} ∈ C 를 만족하는 최소 부분공간 C 로 정의된다.
• 국소 단위의 존재는 M(C) 가 M(A) 에 단사로 통합됨을 보장하여, A 가 C-양측 모듈로서의 단위성을 확보한다.
• 선형 함수형과 ψ 의 충실성에 기반한 오른쪽 다리의 특징화는 대수적 불변 조건과 코멀티플리케이션 기반 불변 조건 간의 동치성을 확립한다.