[논문 리뷰] Compact Closed Bicategories

Michael Stay|arXiv (Cornell University)|2013. 01. 06.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 43인용 수 81

한 줄 요약

이 논문은 약한 쌍대를 지닌 대칭 모나드 이중범주에서 일반적인 zig-zag 항등식이 자연 동형사상에 의해 성립하고 조화 법칙을 만족하는, 직접적인 정의를 제시한다. 주요 기여는 유한 곱과 약한 피보팅을 갖는 범주에서의 스펜의 이중범주가 압축 닫힘을 갖는다는 것을 증명하는 것이다. 이는 집합의 스펜 이중범주와 특정 저항망 이중범주가 모두 압축 닫힘을 갖는다는 것을 의미한다.

ABSTRACT

A compact closed bicategory is a symmetric monoidal bicategory where every object is equipped with a weak dual. The unit and counit satisfy the usual "zig-zag" identities of a compact closed category only up to natural isomorphism, and the isomorphism is subject to a coherence law. We give several examples of compact closed bicategories, then review previous work. In particular, Day and Street defined compact closed bicategories indirectly via Gray monoids and then appealed to a coherence theorem to extend the concept to bicategories; we restate the definition directly. We prove that given a 2-category T with finite products and weak pullbacks, the bicategory of objects of C, spans, and isomorphism classes of maps of spans is compact closed. As corollaries, the bicategory of spans of sets and certain bicategories of "resistor networks" are compact closed.

연구 동기 및 목표

• 그레이 모노이드를 통한 간접적 구성에 의존하지 않는 직접적이고 자가 포함적인 압축 닫힘 이중범주의 정의를 제공한다.
• 이중범주 수준에서 약한 쌍대성의 맥락에서 쌍대와 자연 동형사상의 조화 법칙을 명확히 한다.
• 스펜과 프로파일러의 이중범주로부터 유래하는 압축 닫힘 이중범주의 기초적인 예를 확립한다.
• 유한 곱과 약한 피보팅을 갖는 범주에서의 스펜 이중범주가 압축 닫힘을 갖는다는 것을 증명한다. 이는 기존 결과를 일반화한다.
• 이 결과가 집합의 스펜과 저항망 이중범주와 같은 중요한 구조에 대한 압축 닫힘을 유도할 수 있음을 보여준다.

제안 방법

• 약한 쌍대, 단위자, 결합자, 그리고 삼각형 조화 법칙 조건을 명시하여 압축 닫힘 이중범주의 직접적 정의를 도입한다.
• 유한 곱과 약한 피보팅을 갖는 범주 T에 대해, 객체가 T의 객체들, 1-모르피즘들이 스펜들, 2-모르피즘들이 스펜의 사상들인 Span(T) 이중범주를 중심적인 구성으로 사용한다.
• 약한 피보팅의 구조로 인해 스펜의 합성은 자연 동형사상에 의해만 결합법칙과 항등원 법칙을 만족하므로, 결합법칙과 항등원 법칙이 자연 동형사상에 의해만 성립함을 증명한다.
• 이중범주의 조화 법칙 정리를 적용하여, Span(T)에서 삼각형 조화 법칙이 성립함을 확인함으로써, 이중범주가 필요한 조화 법칙을 만족함을 보장한다.
• 곱의 구조를 이용해 Span(T)에서의 쌍대를 구성하고, 조화 법칙 동형사상이 조화 법칙을 만족함을 검증함으로써 이중범주의 쌍대성을 확립한다.
• 주요 결과를 적용하여, Cospan(ResNet)과 Circ의 압축 닫힘을 객체의 자기 쌍대성과 대칭성에 의해 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 그레이 모노이드를 통한 간접적 구성에 의존하지 않고, 어떻게 압축 닫힘 이중범주를 직접 정의할 수 있는가?
• RQ2 대칭 모나드 이중범주에서 약한 쌍대가 자연 동형사상에 의해 zig-zag 항등식을 만족하기 위해 필요한 조화 법칙은 무엇인가?
• RQ3 범주 T에서의 스펜 이중범주가 어떤 조건에서 압축 닫힘을 갖는가?
• RQ4 집합의 스펜과 저항망 이중범주의 압축 닫힘은 일반적인 정리로부터 유도될 수 있는가?
• RQ5 약한 피보팅은 스펜 이중범주의 합성과 쌍대성의 조화 법칙을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 유한 곱과 약한 피보팅을 갖는 범주 T에서의 스펜 이중범주 Span(T)는 삼각형 조화 법칙 조건을 통해 압축 닫힘을 갖는다.
• 이 결과는 집합의 스펜 이중범주가 압축 닫힘을 갖는다는 것을 의미하며, 기존의 민간 지식 결과를 공식적인 증명으로 확장한다.
• 저항망의 코스펜 이중범주 Cospan(ResNet)는 반대 범주에서 코스펜과 스펜 간의 대칭성으로 인해 압축 닫힘을 갖는다.
• 모든 객체가 자기 쌍대인 저항망의 부분범주 Circ는 압축 닫힘을 갖는다.
• 삼각형 법칙이 T에서 성립함에 따라, 삼각형 조화 법칙 조건에서 복합 동형사상이 항등사상으로 줄어든다.
• 이 구성은 압축 닫힘 이중범주의 직접적이고 자가 포함적인 정의를 제공하며, 이전의 그레이 모노이드를 통한 간접 정의에서 애매한 점을 해결한다.