[논문 리뷰] Compact Group Automorphisms, Addition Formulas and Fuglede-Kadison Determinants

Hanfeng Li|arXiv (Cornell University)|2010. 01. 03.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 81인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 가산 적으로 추이성 있는 군 Γ와 그 군 von Neumann 대수에서 가역인 f에 대해, ℤΓ/ℤΓf의 푸앵카레 쌍대군 위에서의 이동 작용의 위상적 엔트로피가 f의 Fuglede-Kadison 행렬식의 로그와 일치함을 증명한다. 증명은 amenable 군 작용에 대한 ℓp-버전의 Bowen 엔트로피 정의, 군 확장에 대한 덧셈 공식, 그리고 f의 압축을 통한 행렬식에 대한 근사 공식에 기반한다.

ABSTRACT

For a countable amenable group Γand an element f in the integral group ring ZΓbeing invertible in the group von Neumann algebra of Γ, we show that the entropy of the shift action of Γon the Pontryagin dual of the quotient of ZΓby its left ideal generated by f is the logarithm of the Fuglede-Kadison determinant of f. For the proof, we establish an \ell^p-version of Rufus Bowen's definition of topological entropy, addition formulas for group extensions of countable amenable group actions, and an approximation formula for the Fuglede-Kadison determinant of f in terms of the determinants of perturbations of the compressions of f.

연구 동기 및 목표

• 가산 적으로 추이성 있는 군의 자동형사상에 의한 컴팩트 메트라이즈블 군 위에서의 대수적 작용의 위상적 엔트로피를 계산하기 위해.
• ℤ 및 ℤd-작용에 대해 알려진 엔트로피 공식을 일반적인 가산 적으로 추이성 있는 군으로 확장하기 위해.
• 군 von Neumann 대수의 가역 원소에 대해 엔트로피와 Fuglede-Kadison 행렬식을 연결하는 일반 공식을 수립하기 위해.
• 이전에 거의 알려진 바가 없었던 비아벨 군 작용에서 엔트로피를 계산하기 위한 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 가산 적으로 추이성 있는 군 작용에 대해 Rufus Bowen의 위상적 엔트로피 정의의 ℓp-버전을 도입한다.
• 가산 적으로 추이성 있는 군 작용의 군 확장에서 위상적 엔트로피에 대한 덧셈 공식을 개발한다.
• f의 유한 부분집합에 대한 압축의 행렬식을 사용하여 Fuglede-Kadison 행렬식에 대한 근사 공식을 구성한다.
• 군환 ℤΓ와 그 푸앵카레 쌍대군 간의 대칭성을 이용하여, 컴팩트 아벨 군 위에서의 작용 αf를 정의한다.
• 군 von Neumann 대수 LΓ 위의 추적 상태를 사용하여 Fuglede-Kadison 행렬식을 정의한다.
• 작용 αf에 대해 위상적 엔트로피와 측도론적 엔트로피가 동치임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 가산 적으로 추이성 있는 군에 대해, ℤΓ/ℤΓf의 푸앵카레 쌍대군 위에서의 이동 작용의 엔트로피가 f의 Fuglede-Kadison 행렬식의 로그와 일치하는가?
• RQ2 Fuglede-Kadison 행렬식은 f의 유한 압축에 대한 행렬식을 통해 근사될 수 있는가?
• RQ3 가산 적으로 추이성 있는 군 작용의 군 확장에서 엔트로피는 어떻게 행동하며, 덧셈 공식을 유도할 수 있는가?
• RQ4 f가 ℓ1(Γ)에서 가역이 아니지만 군 von Neumann 대수에서만 가역일 경우에도 엔트로피 공식이 성립하는가?

주요 결과

• Xf 위에서의 작용 αf의 위상적 엔트로피는 f의 Fuglede-Kadison 행렬식의 로그와 같다.
• f가 군 von Neumann 대수 LΓ에서 가역일 때에만 엔트로피가 유한하다.
• f의 Fuglede-Kadison 행렬식은 f의 유한 부분집합에 대한 압축의 로그 행렬식에 의해 근사된다.
• 군 확장에서의 엔트로피에 대한 덧셈 공식은 전체 시스템의 엔트로피를 부분군 위에서의 구성요소로 분해할 수 있도록 한다.
• 이 결과는 ℤ 및 ℤd-작용에 대해 알려진 공식을 일반화하며, 이 경우 엔트로피는 f의 Mahler 측도와 일치한다.
• 증명은 대칭 ℓ1(Γ) 또는 잔여 유한성 조건이 없는 군에도 적용 가능하며, 모든 가산 적으로 추이성 있는 군에 대해 성립한다.