[논문 리뷰] Compact groups all elements of which are almost right Engel

E. I. Khukhro, Pavel Shumyatsky|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 14.

Finite Group Theory Research참고 문헌 14인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 모든 원소가 거의 오른쪽 엔젤인 컴팩트 하우스도르프 군에서, 반복적인 오른쪽 교환자들이 결국 유한한 집합에 들어가는 경우, 몫이 국소적으로 노름화된 유한 정규부분군이 존재함을 증명한다. 주요 기여는 이러한 컴팩트 군의 구조적 분류이며, 이는 이전의 거의 왼쪽 엔젤 원소에 대한 결과를 확장하고, 엔젤 싱크의 크기가 일관되게 유계일 경우 정량적 경계를 확립한다.

ABSTRACT

We say that an element $g$ of a group $G$ is almost right Engel if there is a finite set ${\mathscr R}(g)$ such that for every $x\in G$ all sufficiently long commutators $[...[[g,x],x],\dots ,x]$ belong to ${\mathscr R}(g)$, that is, for every $x\in G$ there is a positive integer $n(x,g)$ such that $[...[[g,x],x],\dots ,x]\in {\mathscr R}(g)$ if $x$ is repeated at least $n(x,g)$ times. Thus, $g$ is a right Engel element precisely when we can choose ${\mathscr R}(g)=\{ 1\}$. We prove that if all elements of a compact (Hausdorff) group $G$ are almost right Engel, then $G$ has a finite normal subgroup $N$ such that $G/N$ is locally nilpotent. If in addition there is a uniform bound $|{\mathscr R}(g)|\leq m$ for the orders of the corresponding sets, then the subgroup $N$ can be chosen of order bounded in terms of $m$. The proofs use the Wilson--Zelmanov theorem saying that Engel profinite groups are locally nilpotent and previous results of the authors about compact groups all elements of which are almost left Engel.

연구 동기 및 목표

• 모든 원소가 거의 오른쪽 엔젤인 컴팩트 군을 분류함으로써, 이전의 거의 왼쪽 엔젤 원소에 대한 결과를 일반화하는 것.
• 거의 오른쪽 엔젤 조건 하에서 유한 정규부분군이 존재하고 그 몫이 국소적으로 노름화된 군이 되는 것을 확립하는 것.
• 모든 군 원소에서 오른쪽 엔젤 싱크의 크기가 일관되게 유계일 경우, 유한 정규부분군의 순서에 대한 정량적 경계를 제공하는 것.

제안 방법

• 프로파인트 엔젤 군이 국소적으로 노름화됨을 보여주는 윌슨–젤레노프 정리의 기본 도구로의 활용.
• 역극한 구조와 프로파인트 군 이론을 통해 문제를 유한 군으로 환원하는 것.
• 컴팩트 군의 구조 정리들을 적용하여 프로파인트 군에서 일반 컴팩트 군으로 결과를 확장하는 것.
• 최소 엔젤 싱크와 그의 동형성 성질을 활용하여 유한 몫군에서의 군 작용을 제어하는 것.
• 마슈케의 정리와 $p$-군의 성질을 활용하여 몫군에서의 자기동형 작용을 분석하는 것.
• 역극한 추론을 활용하여 유한 군의 결과를 컴팩트 군 설정으로 확장하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 원소가 거의 오른쪽 엔젤인 컴팩트 군은 반드시 국소적으로 노름화된 몫을 가지는 유한 정규부분군을 가져야 하는가?
• RQ2 오른쪽 엔젤 싱크의 크기가 일관되게 유계일 경우, 유한 정규부분군의 순서는 그 최대 크기의 함수로 유계가 될 수 있는가?
• RQ3 거의 오른쪽 엔젤 원소와 거의 왼쪽 엔젤 원소 사이에 구조적 연결성이 존재하는가? 만약 존재한다면 그 의미는 무엇인가?
• RQ4 유한 군에서의 엔젤 싱크 성질은 어떻게 프로파인트 및 컴팩트 군으로 확장되는가?
• RQ5 이 맥락에서 $p$-군과 프라티니 몫군은 원소가 유한 몫군에서 작용하는 방식을 통제하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 모든 원소가 거의 오른쪽 엔젤인 컴팩트 군 $G$는 유한 정규부분군 $N$을 가지며, 이에 대해 $G/N$은 국소적으로 노름화된다.
• 모든 $g \in G$에 대해 오른쪽 엔젤 싱크 ${\mathscr{R}}(g)$의 크기가 $m$ 이하로 일관되게 유계이면, 유한 정규부분군 $N$은 $m$에 대한 함수로 유계인 순서를 가질 수 있다.
• 이 결과는 이러한 컴팩트 군이 유한-국소적으로 노름화된 성질을 가지며, 이는 이전에 알려진 거의 왼쪽 엔젤 원소에 의한 유한-노름화된 구조를 확장한다.
• 이러한 군의 모든 원소는 또한 유한한 왼쪽 엔젤 싱크를 가지므로, 저자들이 이전에 발표한 거의 왼쪽 엔젤 원소에 대한 결과의 조건을 만족한다.
• 증명은 역극한 기법과 컴팩트 군의 구조 정리를 활용하며, 문제를 유한 군과 프로파인트 군으로 환원한다.
• 모든 유한 생성 부분군 $H$의 노름화 잔여군 $\gamma_\infty(H)$는 $|{\mathscr{R}}(g)| \leq m$ 이면 $m$-유계 순서를 가진다.