[논문 리뷰] Compact leaves of codimension one holomorphic foliations on projective manifolds

Benoît Claudon, Frank Loray외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 21.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 20인용 수 20

한 줄 요약

이 논문은 코디멘션 1의 복소다양체 위에서 컴팩트한 리프레젠테이션을 가진 복소다양체의 폴로니에이션을 조사하며, 정규 번들의 평탄함의 차수를 측정하는 Ueda 이론과 폴로니에이션의 호로노미 표현(수직 역학) 간의 상호작용을 중심으로 한다. 특정 컴팩트한 리프레젠테이션을 가진 전역 폴로니에이션의 존재 조건을 설정하고, 아벨 또는 해소 가능한 호로노미를 가진 폴로니에이션의 인수분해 결과를 증명한다.

ABSTRACT

This article studies codimension one foliations on projective man-ifolds having a compact leaf (free of singularities). It explores the interplay between Ueda theory (order of flatness of the normal bundle) and the holo-nomy representation (dynamics of the foliation in the transverse direction). We address in particular the following problems: existence of foliation having as a leaf a given hypersurface with topologically torsion normal bundle, global structure of foliations having a compact leaf whose holonomy is abelian (resp. solvable), and factorization results.

연구 동기 및 목표

• 프로젝티브 다양체 위의 코디멘션 1 복소다양체 폴로니에이션에서 컴팩트한 리프레젠테이션에 의해 유도되는 기하학적 및 역학적 제약 조건을 이해하는 것.
• 정규 번지가 위상적으로 토르션(또는 평탄한)인 컴팩트한 리프레젠테이션을 가진 전역 폴로니에이션의 존재를 조사하는 것.
• 호로노미가 아벨 또는 해소 가능한 컴팩트한 리프레젠테이션을 가진 폴로니에이션의 전역 구조를 분석하는 것.
• 프로젝티브 다양체 위에서 아벨 또는 해소 가능한 호로노미를 가진 폴로니에이션의 인수분해 정리를 수립하는 것.
• 코homological 및 위상수학적 조건 하에서 국소 형식 폴로니에이션 구조를 전역 복소다양체 폴로니에이션으로 확장하는 것.

제안 방법

• 특히 정규 번지가 위상적으로 토르션일 경우, 컴팩트한 리프레젠테이션의 정규 번지의 평탄함의 차수를 분석하기 위해 Ueda 이론을 활용한다.
• 리프레젠테이션의 기본군의 호로노미 표현을 적용하여 수직 역학을 연구하고 폴로니에이션 유형을 분류한다.
• 형식적 이웃 분야 이론과 변형 이론을 활용하여 컴팩트한 리프레젠테이션 주변의 국소적 형식 폴로니에이션을 구성한다.
• 보조문 A를 통해 수직 구조의 확장 기법을 적용하여, 컴팩트한 카일러 다양체 위에서 국소 폴로니에이션을 전역적으로 확장한다.
• Bott의 접속과 정규 번지 위의 평탄한 접속 등을 포함한 복소기하학의 결과를 활용하여 수직 애핀 또는 사영 기하 구조를 분석한다.
• 코homological 장애와 선다발 조건(예: L|Y ≅ NY^k 를 만족하는 평탄한 선다발 L의 존재)을 활용하여 폴로니에이션을 정의하는 유리 1-형식의 존재를 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정규 번지가 위상적으로 토르션인 매끄러운 초곡면이 전역 복소다양체 폴로니에이션을 가지기 위한 조건은 무엇인가? 이 폴로니에이션의 컴팩트한 리프레젠테이션으로서의 역할을 수행한다.
• RQ2 컴팩트한 리프레젠테이션의 Ueda 유형이 호로노미 표현과 폴로니에이션의 전역 구조에 어떤 제약을 가하는가?
• RQ3 호로노미가 아벨 또는 해소 가능한 컴팩트한 리프레젠테이션을 가진 코디멘션 1 폴로니에이션의 전역 구조는 어떻게 되는가?
• RQ4 어떤 조건에서 아벨 또는 해소 가능한 호로노미를 가진 폴로니에이션은 피브레이션 또는 수직으로 애핀 기하 구조를 통해 인수분해될 수 있는가?
• RQ5 형식적 이웃 분야에서의 형식 폴로니에이션을 전역 복소다양체 폴로니에이션으로 확장할 때 발생하는 장애는 무엇인가?

주요 결과

• 정리 A에 따르면, Y² = 0 인 표면의 국소 구조에서 임의의 매끄러운 곡선 Y 주위에는 형식적 정규 폴로니에이션이 존재한다.
• 콤팩트한 카일러 다양체 X 내의 매끄러운 초곡면 Y가 NY^k 이 위상적으로 자명하고 utype(Y) ≥ k 를 만족하면, L* 값의 유리 1-형식이 존재하여 Y 를 리프레젠테이션으로 가지는 전역 폴로니에이션을 정의할 수 있다.
• 프로젝티브 다양체 위에서 아벨 호로노미를 가진 컴팩트한 리프레젠테이션을 가진 폴로니에이션은 수직으로 애핀임을 보이며, 약간의 조건 하에서 피브레이션 또는 P1-_bundle를 통해 인수분해됨을 보였다.
• 해소 가능한 호로노미의 경우, 폴로니에이션의 구조는 리카티 또는 타원적 피브레이션으로 제한되며, 이는 Brunella 의 이전 결과를 일반화한다.
• 선다발 L 과 Ueda 유형에 대한 코homological 조건을 통해 이러한 폴로니에이션의 존재에 대한 완전한 장애 이론적 기준을 제시한다.
• 이 논문의 결과는 특히 유리 표면 및 매우 일반적인 점들을 가진 P² 의 블로우업의 맥락에서 Sad, Brunella, Ueda 의 이전 작업을 확장하고 일반화한다.