[논문 리뷰] Compactifications of moduli spaces inspired by mirror symmetry

David R. Morrison|ArXiv.org|1993. 04. 23.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 39인용 수 115

한 줄 요약

이 논문은 칼라비-유아의 다양체에 대한 모듈리 공간의 미러 대칭에 기반한 단순화된 콪팩티피케이션을 제안하며, 루이앙가의 반타원형 콱팩티피케이션을 비산성적 몰입에까지 확장한다. 최소 부분 콱팩티피케이션을 Satake-Baily-Borel와 유사하게 도입하여, 최대로 유니포텐셜한 경계점이 특정 칼라비-유아 다양체와 그 칼라비-유아 원뿔, 그리고 산술적 자료를 갖는 미러 칼라비-유아 다양체와 대응된다고 추측하며, 모듈리 콱팩티피케이션에서의 미러 대칭을 위한 기하적 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

We study moduli spaces of nonlinear sigma-models on Calabi-Yau manifolds, using the one-loop semiclassical approximation. The data being parameterized includes a choice of complex structure on the manifold, as well as some ``extra structure'' described by means of classes in H^2. The expectation that this moduli space is well-behaved in these ``extra structure'' directions leads us to formulate a simple and compelling conjecture about the action of the automorphism group on the Kähler cone. If true, it allows one to apply Looijenga's ``semi-toric'' technique to construct a partial compactification of the moduli space. We explore the implications which this construction has concerning the properties of the moduli space of complex structures on a ``mirror partner'' of the original Calabi-Yau manifold. We also discuss how a similarity which might have been noticed between certain work of Mumford and of Mori from the 1970's produces (with hindsight) evidence for mirror symmetry which was available in 1979. [The author is willing to mail hardcopy preprints upon request.]

연구 동기 및 목표

• 미러 대칭의 통찰을 활용하여 칼라비-유아 다양체의 모듈리 공간을 기하학적으로 콱팩티피케이션하는 것.
• 대칭 영역의 비산성적 몰입에 대해 루이앙가의 반타원형 콱팩티피케이션을 일반적인 모듈리 공간으로 확장하는 것.
• 복소 구조와 칼라비-유아 모듈리 간의 대칭성을 반영하는 최소 부분 콱팩티피케이션을 제안하는 것.
• 최대 유니포텐셜 경계점과 특정 자동형사군 및 칼라비-유아 원뿔을 갖는 미러 칼라비-유아 다양체 간의 대응관계를 추측하는 것.
• 유한한 자동형사군에 대한 모odular한 무한 이산적 자료(예: 칼라비-유아 원뿔)의 역할을 추측된 칼라비-유아 원뿔 성질을 통해 명확히 하는 것.

제안 방법

• 미러 대칭에서 유래한 비산성적 모듈리 공간에 대해 루이앙가의 반타원형 콱팩티피케이션 프레임워크를 적용한다.
• 모듈리 공간의 복소 코탄젠트 배럴 위에 평탄한 접속을 도입하여 열화를 분석한다.
• 특히 비정규 교차 유형의 경우를 포함한 모듈리 공간의 경계점을 탈퇴하는 히지 구조의 변형을 분석한다.
• 미러 대칭 대칭을 적용: 한 칼라비-유아 다양체의 복소 구조 모듈리 공간은 그 미러 파트너의 칼라비-유아 모듈리 공간에 대응한다.
• Satake-Baily-Borel에 유사한 최소 콱팩티피케이션을 제안하며, 칼라비-유아 원뿔의 유리수 볼륨의 Satake-Baily-Borel 분해를 기반으로 한다.
• 추측된 칼라비-유아 원뿔 성질을 활용하여 무한 이산 자료(예: 풍부한 배럴)가 자동형사군에 의해 유한한 자료로 표현됨을 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 칼라비-유아 다양체의 모듈리 공간은 어떻게 콱팩티피케이션할 수 있으며, 이는 미러 대칭 대칭을 반영하는가?
• RQ2 칼라비-유아 다양체의 모듈리 공간에서 최대 유니포텐셜 경계점의 기하학적 의미는 무엇인가?
• RQ3 Satake-Baily-Borel 콱팩티피케이션과 유사한 최소 부분 콱팩티피케이션을 비산성적 모듈리 공간에 구성할 수 있는가?
• RQ4 미러 칼라비-유아 다양체의 칼라비-유아 원뿔은 모듈리 공간 경계의 구조와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 자기형사군과 정수 코homology는 경계점에서 콱팩티피케이션 자료를 정의하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 최소 부분 콱팩티피케이션은 Satake-Baily-Borel 콱팩티피케이션과 유사하게 칼라비-유아 다양체의 모듈리 공간에 존재할 것이라 추측되며, 특별히 최대 유니포텐셜 경계점이 구별된다.
• 각 최대 유니포텐셜 경계점은 그 칼라비-유아 원뿔 ${\cal K}_j$와 자기형사군 $\mathop{\rm Aut}(X_j)$를 지닌 미러 칼라비-유아 다양체 $X_j$에 대응한다.
• 산술 자료 $\Gamma_j$ 는 $H^2(X_j,\mathbb{Z})$ 를 토퍼션으로 나눈 후 $\mathop{\rm Aut}(X_j)$ 에 대해 나누어지는 것으로 정의되며, 모듈리 공간 위에 작용하는 이산군을 이룬다.
• 각 경계점에서의 국소적으로 유리 다각형 분할 ${\cal P}_j$ 는 원뿔 $({\cal K}_j)_+$, 즉 칼라비-유아 원뿔의 폐쇄의 유리 볼륨의 Satake-Baily-Borel 분할과 일치한다.
• 추측된 칼라비-유아 원뿔 성질은 무한 이산 자료(예: 풍부한 배럴)가 자동형사군에 의해 유한해짐을 명확히 하며, A. 그라시와의 비트리비얼 사례에서의 검증을 통해 뒷받침된다.
• 모리의 1979년 실 곱셈을 갖는 아벨 곡면의 예와 반만드의 그림 1 사이의 역사적 연결 고리를 제시하며, 만약 그 대칭성이 인식되었더라면 1979년에 이미 미러 대칭이 예견되었을 수 있음을 시사한다.