[논문 리뷰] Compactifications of smooth families and of moduli spaces of polarized manifolds

Eckart Viehweg|ArXiv.org|2006. 05. 03.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 15인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 힐버트 다항식 $h$ 를 가진 극화된 다양체의 모듈리 공간의 사영적 컴팩티피케이션을 구축하며, 고차의 다중칸오닉 섹션의 행렬식을 열린 부분집합에 대해 네프이자 앰플인 선다발로 컴팩티피케이션 위로 확장한다. 약한 준안정 환원, 승수 이상의 이상 이론, 기본 변화 정리 등을 이용하여 이러한 확장이 인플레이션과 호환되고 양의 성질을 유지함을 증명함으로써, 캐논리컬로 극화된 또는 최소 칼라비-양 타입 다양체의 가닥에 대해 자연스러운 앰플 선다발을 컴팩티피케이션된 모듈리 공간 위에 구성할 수 있게 한다.

ABSTRACT

Let M be the moduli scheme of canonically polarized manifolds with Hilbert polynomial h. We construct for a given finite set I of natural numbers m>1 with h(m)>0 a projective compactification M' of the reduced scheme underlying M such that the ample invertible sheaf L corresponding to the determinant of the direct image of the m-th power of the relative dualizing sheaf on the moduli stack, has a natural extension L' to M'. A similar result is shown for moduli of polarized minimal models of Kodaira dimension zero. In both cases "natural" means that the pullback of L' to a curve C --> M', induced by a family f:X --> C is isomorphic to the determinant of the direct image of the m-th power of the relative dualizing sheaf whenever f is birational to a semi-stable family. Besides of the weak semistable reduction of Abramovich-Karu and the extension theorem of Gabber there are new tools, hopefully of interest by itself. In particular we will need a theorem on the flattening of multiplier sheaves in families, on their compatibility with pullbacks and on base change for their direct images, twisted by certain semiample sheaves. Following suggestions of a referee, we reorganized the article, we added several comments explaining the main line of the proof, and we changed notations a little bit.

연구 동기 및 목표

• 캐논리컬로 극화된 다양체의 힐버트 다항식 $h$ 를 가진 경우, 축소된 모듈리 스킴 $(M_h)_{\rm red}$ 의 사영적 컴팩티피케이션 $\overline{M}_h$ 를 구축하는 것.
• 선다발 $\lambda_\nu = \det(f_* \omega_{X_0/Y_0}^\nu)$ 를 $\operatorname{Pic}(\overline{M}_h)_{\mathbb{Q}}$ 에서 열린 부분집합에 대해 네프이자 앰플인 클래스 $\overline{\lambda}_\nu$ 로 확장하는 것.
• 특히 곡선 위의 가닥에 대해 유한 커버링과 준안정 모델을 통한 인플레이션과의 호환성을 확보하는 것.
• 카우다르 차원이 0인 극화된 최소 모델의 모듈리에 대해 유사한 기법을 사용하여 동일한 구성의 일반화를 이루는 것.

제안 방법

• 아브라모비치-카로의 약한 준안정 환원 정리를 활용하여 유한 커버링을 통한 가닥의 특이점 해결.
• 가브너의 확장 정리를 적용하여 컴팩티피케이션의 경계에서의 디바이저를 넘어선 코herent sheaf의 확장.
• 기본 변화와 인플레이션에 대해 승수 이상의 이상 이론의 평탄성에 관한 새로운 정리 도입으로 직접 이미지 함수자와의 호환성 보장.
• 선다발과 승수 이상의 이상 이론에 대한 포화 기법을 활용하여 가닥 전체에 걸쳐 구성의 안정성 확보.
• 승수 이상의 이상 이론이 피보트 곱과 교란에 대해 호환됨을 이용하여 컴팩티피케이션에서의 특이점 제어.
• 특히 반소편의 티프팅을 포함한 직접 이미지의 기본 변화 정리를 적용하여 평탄성과 협응성 확보.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 캐논리컬로 극화된 다양체의 모듈리 공간에 대해 사영적 컴팩티피케이션을 구성할 수 있는가? 이 경우 $\nu$-번째 다중칸오닉 섹션의 행렬식 선다발이 컴팩티피케이션 위에서 열린 부분집합에 대해 네프이자 앰플인 클래스로 확장되는가?
• RQ2 특히 곡선 위의 가닥에 대해, $\lambda_\nu$ 의 확장이 유한 커버링과 준안정 모델을 통한 인플레이션과 호환되도록 할 수 있는가?
• RQ3 어떤 조건이 $\nu \geq 2$ 일 때 확장된 선다발 $\overline{\lambda}_\nu$ 가 열린 부분집합에 대해 앰플리티를 보장하는가?
• RQ4 동일한 구성은 카우다르 차원이 0인 극화된 최소 모델의 모듈리로 일반화될 수 있는가? 이 경우 양의 성질과 호환성은 유지되는가?
• RQ5 승수 이상의 이상 이론과 그 평탄성은 컴팩티피케이션 과정에서 특이점을 제어하고 기본 변화에 대해 호환성을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 논문은 축소된 모듈리 공간 $(M_h)_{\rm red}$ 의 사영적 컴팩티피케이션 $\overline{M}_h$ 를 구성하며, 선다발 $\overline{\lambda}_\nu$ 가 $\operatorname{Pic}(\overline{M}_h)_{\mathbb{Q}}$ 에 자연스럽게 확장됨을 보였다.
• 확장된 $\overline{\lambda}_\nu$ 는 네프임을 증명하였고, 낮은 차수의 선다발에 대한 앰플리티 가정이 있으면 $\nu \geq 2$ 일 때 열린 부분집합에 대해 앰플리티를 가짐을 보였다.
• 곡선 위의 가닥에 대해, $\overline{\lambda}_\nu$ 를 준안정 모델로 인플레이션하면 캐논리컬 섹션의 행렬식을 복원함으로써 호환성이 보장됨.
• 승수 이상의 이상 이론에 대해 기존의 평탄성 정리를 새롭게 확장하여, 기저 변화와 인플레이션에 대해 호환됨을 보였다.
• 구성은 약한 준안정 환원의 변종과 승수 이상의 이상 이론에 대한 포화 기법에 의존하며, 컴팩티피케이션에서의 특이점 제어에 기여함.
• 핵심 기술적 결과는 적절한 티프팅 이후 $\det({\mathcal{F}}_Y^{(\epsilon,1)})$ 가 열린 부분집합에 대해 앰플리티를 가지며, 이는 $\nu \geq 2$ 일 때 $\overline{\lambda}_\nu$ 의 앰플리티를 암시한다.