[논문 리뷰] Compactifications of topological groups

Vladimir Uspenskij|ArXiv.org|2002. 04. 10.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 9인용 수 35

한 줄 요약

이 논문은 위상군의 자연스러운 컴팩티피케이션—특히 최대 아미브 S(G), 로엘cke 컴팩티피케이션 R(G), 약한 거의 주기적 컴팩티피케이션 W(G)—을 도입하고 분석하여 군의 성질, 예를 들어 최소성과 극도로 단순성 등을 특성화하는 데서의 역할을 규명한다. 주요 결과로는, 지름 1인 유르소프의 보편 메트릭 공간의 등장사상군인 보편 폴란드 군 Is(U₁)가 최소이자 로엘cke-준콤팩트임을 증명함으로써, 모든 위상군이 동일한 무게를 갖는 최소 로엘cke-준콤팩트 군에 통합될 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

Every topological group $G$ has some natural compactifications which can be a useful tool of studying $G$. We discuss the following constructions: (1) the greatest ambit $S(G)$ is the compactification corresponding to the algebra of all right uniformly continuous bounded functions on $G$; (2) the Roelcke compactification $R(G)$ corresponds to the algebra of functions which are both left and right uniformly continuous; (3) the weakly almost periodic compactification $W(G)$ is the envelopping compact semitopological semigroup of $G$ (`semitopological' means that the multiplication is separately continuous). The universal minimal compact $G$-space $X=M_G$ is characterized by the following properties: (1) $X$ has no proper closed $G$-invariant subsets; (2) for every compact $G$-space $Y$ there exists a $G$-map $X o Y$. A group $G$ is extremely amenable, or has the fixed point on compacta property, if $M_G$ is a singleton. We discuss some results and questions by V. Pestov and E. Glasner on extremely amenable groups. The Roelcke compactifications were used by M. Megrelishvili to prove that $W(G)$ can be a singleton. They can be used to prove that certain groups are minimal. A topological group is minimal if it does not admit a strictly coarser Hausdorff group topology.

연구 동기 및 목표

• 위상군의 자연스러운 컴팩티피케이션을 군의 구조와 역학을 연구하는 도구로 분석하는 것.
• 보편 최소 컴팩트 G-공간 MG가 극도로 단순성 결정에 어떤 역할을 하는지 특성화하는 것.
• 특히 Is(U₁)의 최소성과 로엘cke-준콤팩트성에 대해 컴팩티피케이션 기법을 사용하여 연구하는 것.
• 모든 위상군이 동일한 위상적 무게를 갖는 최소 로엘cke-준콤팩트 군에 통합될 수 있음을 확립하는 것.

제안 방법

• G 위의 오른쪽 균일 연속 유계 함수들의 C*-대수의 최대 이상의 공간으로서 최대 아미브 S(G)를 구성한다.
• L과 R이 각각 왼쪽 및 오른쪽 균일 구조일 때, 균일 공간 (G, L ∧ R)의 세미유니폼 컴팩티피케이션으로서 로엘cke 컴팩티피케이션 R(G)를 정의한다.
• G의 포락성 위상군으로서의 역할을 하는 약한 거의 주기적 컴팩티피케이션 W(G)를 정의하며, 별개로 연속적인 곱셈을 갖는다.
• R(G)를 지름 1인 거리 공간 중에서 두 개의 U₁에 등장사상적으로 포함되는 것들을 매개변수화하는 I^{U₁²}의 컴팩트 부분공간 Θ로 식별한다.
• U₁의 비가산적 일반화를 이용해, 임의의 불가측한 무게를 갖는 군에 대한 최소성 결과를 일반화한다.
• R(G)가 관계의 병합에 관해 순서를 갖는 위상군으로서의 구조를 활용하여 Is(U₁)의 최소성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 로엘cke 컴팩티피케이션은 위상군의 최소성을 특성화하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ2 유르소프의 보편 메트릭 공간 U₁의 등장사상군은 최소이자 로엘cke-준콤팩트인가?
• RQ3 약한 거의 주기적 컴팩티피케이션 W(G)가 싱글턴이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ4 모든 위상군은 동일한 위상적 무게를 갖는 최소 로엘cke-준콤파크트 군에 통합될 수 있는가?
• RQ5 불가측한 무게를 갖는 최소이자 로엘cke-준콤팩트인 보편 위상군은 존재하는가?

주요 결과

• 지름 1인 유르소프의 보편 메트릭 공간의 등장사상군인 보편 폴란드 군 Is(U₁)는 최소이다.
• Is(U₁)의 로엘cke 컴팩티피케이션 R(G)는 지름 1인 거리 공간 중에서 두 개의 U₁에 등장사상적으로 포함되는 것을 매개변수화하는 I^{U₁²}의 컴팩트 부분공간 Θ ⊂ 로 호환된다.
• 공간 R(G)는 포함관계로 주어지는 순서를 갖는 관계 병합에 관해 자연스러운 순서 위상군의 구조를 지닌다.
• 보편 최소 컴팩트 G-공간 MG는 G가 극도로 단순할 때이고 그때에만 싱글턴이다. 페스토프의 Is(U₁)에 대한 결과에 의해 이를 보여준다.
• 모든 위상군 G는 적절한 보편 메트릭 공간 X에 대해 Is(X)에 통합됨을 통해, 동일한 무게를 갖는 최소 로엘cke-준콤팩트 군의 부분군으로 동형사상으로 통합될 수 있다.
• 군 Is(U₁)는 로엘cke-준콤팩트가 아니지만, 지름 1인 공간으로의 제한은 최소이자 로엘cke-준콤팩트 군을 이룬다.