[논문 리뷰] Compactifying String Topology

Kate Poirier, Nathaniel Rounds|arXiv (Cornell University)|2011. 11. 15.

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한 줄 요약

이 논문은 닫힘 유향 리만 다성분의 자유 루프 공간 $LM$ 의 단순 체인에 대해, $\overline{SD}(g,k,\ell)$ 로 표기되는 스트링 다이어그램의 컴팩티피케이션 모듈리 공간의 셀 수준 작용을 구축한다. 유도된 호모로지 수준의 작용은 $H_*(LM)$ 에서 코헨-고딘 양변 경계를 가진 토폴로지 양자장 이론(TQFT)의 구조를 복원하며, 리만 곡면 모듈리 공간의 컴팩티피케이션 및 셀 구조를 통한 스트링 토폴로지 연산의 체인 수준 실현을 제공한다.

ABSTRACT

We study the string topology of a closed oriented Riemannian manifold M. We describe a compact moduli space of diagrams, and show how the cellular chain complex of this space gives algebraic operations on the singular chains of the free loop space LM of M. These operations are well-defined on the homology of a quotient of this moduli space, which has the homotopy type of a compactification of the moduli space of Riemann surfaces. In particular, our action of the 0-dimensional homology of the quotient space on the homology of the free loop space of M recovers the Cohen-Godin positive boundary TQFT.

연구 동기 및 목표

• 리만 곡면의 컴팩티피케이션 모듈리 공간이 자유 루프 공간 $LM$ 의 단순 체인에 대해 체인 수준의 작용을 구축하는 것.
• 스울리반 스트링 다이어그램이 리만 곡면 모듈리 공간의 전체 호모토피 유형을 포괄하지 못하는 데서 기인하는 실패를 해결하는 것.
• 체인 수준에서 잘 정의된 스트링 토폴로지 연산을 지원하는 셀 구조 및 컴팩티피케이션 모델 $\overline{SD}(g,k,\ell)$ 를 제공하는 것.
• 호모로지의 몫 $\overline{SD}/\sim$ 가 $H_*(LM)$ 에서 코헨-고딘 양변 경계 TQFT를 복원함을 보이는 것.

제안 방법

• 스울리반 스트링 다이어그램을 일반화한, 스트링 다이어그램의 컴팩티피케이션 모듈리 공간 $\overline{SD}(g,k,\ell)$ 을 CW 복합체로 도입한다.
• 차수 $(2 - 2g - k - \ell)d$ 의 체인 사상 $\mathcal{ST}: \mathcal{C}_*(\overline{SD}) \otimes C_*(LM) \to C_*(LM)$ 을 정의한다.
• 동일한 호모로지 작용을 유도하는 다이어그램을 식별하기 위해 '슬라이드 동치'로 불리는 동치 관계 $\sim$ 를 도입한다.
• $\mathcal{ST}$ 가 체인 사상임을 증명하여 경계 연산자와의 호환성을 확보한다.
• $H_0(\overline{SD}/\sim)$ 에서의 작용이 표면 접합과 가환함을 보여주는 가환 다이어그램을 수립한다.
• $\overline{SD}/\sim$ 를 사용하여 리만 곡면 모듈리 공간의 컴팩티피케이션과 호모토피 유형이 동일한 잘 정의된 호모토피 유형을 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리만 곡면의 컴팩티피케이션 및 셀 구조 모델이 자유 루프 공간의 단순 체인에 대해 체인 수준의 작용을 지원할 수 있는가?
• RQ2 몫 $\overline{SD}/\sim$ 의 호모로지가 $H_*(LM)$ 에서 코헨-고딘 양변 경계 TQFT를 복원하는가?
• RQ3 제안된 체인 사상 $\mathcal{ST}$ 는 이전에 알려진 호모로지 수준의 스트링 토폴로지 연산과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 $H_0(\overline{SD}/\sim)$ 이 $H_*(LM)$ 에 작용하는 것이 표면 접합 연산과 호환되는가?
• RQ5 스울리반 스트링 다이어그램이 모듈리 공간의 전체 호모토피 유형을 포괄하지 못하는 데서 기인하는 실패를 셀 구조의 컴팩티피케이션 모델을 통해 해결할 수 있는가?

주요 결과

• 체인 사상 $\mathcal{ST}: \mathcal{C}_*(\overline{SD}(g,k,\ell)) \otimes C_*(LM) \to C_*(LM)$ 는 잘 정의되어 있으며 미분을 존중하여 체인 수준의 작용을 확립한다.
• 호모로지에 유도된 사상 $\mathcal{ST}_*: H_0(\overline{SD}/\sim) \otimes H_*(LM) \to H_*(LM)$ 는 코헨-고딘 양변 경계 TQFT의 구조를 복원한다.
• $\overline{SD}/\sim$ 는 리만 곡면 모듈리 공간의 컴팩티피케이션과 동치인 호모토피 유형을 가진다.
• $H_0(\overline{SD}/\sim)$ 에 의해 유도된 연산은 호모로지 수준에서 스울리반 스트링 다이어그램을 통해 정의된 것과 일치한다.
• $H_0(Sull(g,k,\ell)) \to H_0(\overline{SD}(g,k,\ell)/\sim)$ 의 동형사상은 $H_*(LM)$ 에서 코이디탈이 없는 프로베누스 대수의 동형사상을 유도한다.
• 표면 접합과의 호환성은 접합 사상 $\#_\mathfrak{s}$ 와 스트링 토폴로지 연산을 포함하는 가환 다이어그램을 통해 보여진다.