[논문 리뷰] Compactly generated quasitopological homotopy groups with discontinuous multiplication

Paul Fabel|arXiv (Cornell University)|2011. 05. 31.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 2인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 각 정수 $ Q \geq 1 $에 대해, 컴팩트하고 경로연결이며 메트릭 공간인 $ X $를 구성한다. 이 공간에서 기저점 $ p $를 중심으로 한 $ Q $-번째 호모토피 군 $ \pi_Q(X,p) $는 몫 위상으로 장비되었을 때 컴팩트하게 생성되지만, 곱셈의 불연속성으로 인해 위상군이 되지 못한다. 구성은 선분의 수렴하는 수열에 연결된 구들의 융합(wedge)을 사용하며, 불연속성은 군 원소를 나타내는 사상들의 비등등연속성 시퀀스에서 기인한다.

ABSTRACT

For each positive integer Q there exists a path connected metric compactum X such that the Qth-homotopy group of X is compactly generated but not a topological group (with the quotient topology).

연구 동기 및 목표

• 경로연결 콤팩트 연속체 $ X $에서 $ \pi_Q(X,p) $가 컴팩트하게 생성될 경우 항상 위상군이 되는가라는 열린 질문을 해결하기 위해.
• 컴팩트하게 생성된 호모토피 군이 몫 위상 하에서 위상군이 되지 않을 수 있음을 보여주는 반례를 제공하기 위해.
• 표준적인 군 곱셈이 $ \pi_Q(X,p) $에서 연속적이지 않을 수 있음을 보이며, 이는 군이 준위상군(역원 연산 연속, 곱셈의 개별 연속성 존재)임에도 불구하고 성립한다.
• 컴팩트 메트릭 공간 $ X $에서 $ \pi_Q(X,p) $가 컴팩트하게 생성되더라도, 그 위상이 항상 위상군을 만들지 못함을 보이며, $ Q \geq 2 $일 경우에도 이러한 가정의 구조적 안정성에 도전한다.

제안 방법

• 선분 수열 $ L_n \to L $의 수렴을 갖는 공간 $ X $를 구성하며, 각 $ L_n $의 끝부분에 $ Q $-차원 구 $ S_n $를 기저점 $ p $에서 융합(wedge)시켜 붙인다.
• 기본군 $ \pi_Q(X,p) $에 몫 위상을 부여하며, 이는 $ M_Q(X,p) $에서 $ \pi_Q(X,p) $로의 자연스러운 전성사상 $ \Pi_Q: M_Q(X,p) \to \pi_Q(X,p) $에 의해 유도된다. 여기서 $ M_Q(X,p) $는 $ S^Q $에서 $ X $로의 기저점 유지 사상들의 공간이며, 컴팩트-오픈 위상을 갖는다.
• 메트릭 공간인 $ M_Q(X,p) $에서의 수열 수렴을 이용해 $ \pi_Q(X,p) $의 수렴을 분석하며, 순차적 공간은 수렴 수열로 결정된다는 사실을 활용한다.
• 특정 부분집합 $ A \subset \pi_Q(X,p) $를 정의하며, 이는 증가하는 길이의 단순화된 단어들로 이루어져 있다. 수렴 수열에서 단어 길이의 유계성에 의해 이 집합이 닫혀 있음을 증명한다.
• 곱셈에 대한 역상 $ \ast^{-1}(A) $가 $ G \times G $에서 닫혀 있지 않음을 보이며, $ (e,e) $가 이 집합에 속하지 않는 극한점임을 보여 불연속성으로 이어진다.
• 군 원소를 나타내는 사상들의 비등등연속 시퀀스를 사용해, 수렴이 일어나기 위해서는 단어 길이가 유계여야 한다는 모순을 이끌어내며, 유계가 아닐 경우 수렴이 불가능함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경로연결 콤팩트 연속체 $ X $에서 $ \pi_Q(X,p) $가 컴팩트하게 생성될 경우, $ Q \geq 1 $에 대해 항상 위상군이 되는가?
• RQ2 컴팩트하게 생성된 호모토피 군 $ \pi_Q(X,p) $가 몫 위상 하에서 위상군이 되지 않을 수 있는가? 특히 $ Q \geq 2 $일 경우에도 성립하는가?
• RQ3 컴팩트 메트릭 공간 $ X $에서 $ \pi_Q(X,p) $가 컴팩트하게 생성되고, $ \pi_Q(X,p) $가 준위상군일 경우, 표준 군 곱셈이 반드시 연속적인가?
• RQ4 군 원소의 표현 사상들이 $ M_Q(X,p) $에서 비등등연속적일 경우, $ \pi_Q(X,p) $에서 곱셈의 불연속성이 발생할 수 있는가?
• RQ5 모든 $ Q \geq 1 $에 대해, 컴팩트하고 경로연결이며 메트릭인 공간 $ X $가 존재하여 $ \pi_Q(X,p) $는 컴팩트하게 생성되지만 곱셈은 불연속적인가?

주요 결과

• 각 $ Q \geq 1 $에 대해, 컴팩트하고 경로연결이며 메트릭 공간인 $ X $가 존재하며, 이에 대해 $ \pi_Q(X,p) $는 몫 위상 하에서 컴팩트하게 생성된다.
• 군 곱셈은 불연속적이지만, 역원 연산과 곱셈의 개별 연속성은 성립하므로 군은 준위상군이다.
• $ \pi_Q(X,p) $ 내에서 증가하는 길이의 단순화된 단어들로 이루어진 집합 $ A $는 닫혀 있다. 이는 수렴 수열에서 단어 길이가 유계이므로 결국 상수 수열이 되기 때문이다.
• $ \pi_Q(X,p) \times \pi_Q(X,p) $ 내에서 $ \ast^{-1}(A) $는 닫혀 있지 않다. $ (e,e) $는 이 집합의 극한점이지만 속하지 않기 때문에 곱셈의 불연속성을 증명한다.
• 이 구성은 $ M_Q(X,p) $ 내에서 군 원소를 나타내는 비등등연속 시퀀스에 의존하며, 이 시퀀스가 수렴하려면 단어 길이가 유계여야 한다. 만약 길이가 무한히 증가한다면 수렴이 불가능하며, 이는 모순을 낳는다.
• 공간 $ X $는 페아노 연속체(콤팩트하고 국소적으로 경로연결이며 메트릭)이며, $ \pi_Q(X,p) $는 순차적 공간이므로 수렴 분석이 타당하다.