[논문 리뷰] Compactness and an approximation property related to an operator ideal

Anil Kumar Karn, D. P. Sinha|arXiv (Cornell University)|2012. 07. 09.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 3인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 연산자 이상 $σ$-근사성질($\mathcal{A}$-a.p.)을 도입하여, Banach 공간에 대해 $\mathcal{A}$에 상대적으로 정의되며, $\mathcal{A} \circ \mathcal{K}$ 및 $\mathcal{K} \circ \mathcal{A}$ 내에서 유한계수 연산자의 조밀성을 통해 특성화된다. 주요 결과로는, $\ell_\infty$-확장 성질을 가진 임베딩적($\mathcal{A}$)일 경우, $X$가 $\mathcal{A}$-a.p.를 가질 조건은 $(\mathcal{A}^{\min})^{\text{inj}} = \mathcal{A}^{\min}$이며, 이는 고전적 근사성질을 연산자 이상 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

For an operator ideal $\mathcal A$, we study the composition operator ideals ${\mathcal A}\circ{\mathcal K}$, ${\mathcal K}\circ{\mathcal A}$ and ${\mathcal K}\circ{\mathcal A}\circ{\mathcal K}$, where $\mathcal K$ is the ideal of compact operators. We introduce a notion of an $\mathcal A$-approximation property on a Banach space and characterise it in terms of the density of finite rank operators in ${\mathcal A}\circ{\mathcal K}$ and ${\mathcal K}\circ{\mathcal A}$. We propose the notions of $\ell_{\infty}$-extension and $\ell_{1}$-lifting properties for an operator ideal $\mathcal A$ and study ${\mathcal A}\circ{\mathcal K}$, ${\mathcal}\circ{\mathcal A}$ and the $\mathcal A$-approximation property where $\mathcal A$ is injective or surjective and/or with the $\ell_{\infty}$-extension or $\ell_{1}$-lifting property. In particular, we show that if $\mathcal A$ is an injective operator ideal with the $\ell_\infty$-extension property, then we have: (a) $X$ has the $\mathcal A$-approximation property if and only if $({\mathcal A}^{min})^{inj}(Y,X)={\mathcal A}^{min}(Y,X)$, for all Banach spaces $Y$. (b) The dual space $X^*$ has the $\mathcal A$-approximation property if and only if $(({\mathcal A}^{dual})^{min})^{sur}(X,Y)=({\mathcal A}^{dual})^{min}(X,Y)$, for all Banach spaces $Y$.}For an operator ideal $\mathcal A$, we study the composition operator ideals ${\mathcal A}\circ{\mathcal K}$,

연구 동기 및 목표

• 고전적 근사성질을 연산자 이상 $\mathcal{A}$에 상대적인 $\mathcal{A}$-근사성질(a.p.)을 도입함으로써 일반화하는 것.
• composition 이상 $\mathcal{A} \circ \mathcal{K}$ 및 $\mathcal{K} \circ \mathcal{A}$ 내에서 유한계수 연산자의 조밀성에 기반하여 $\mathcal{A}$-a.p.를 특성화하는 것.
• $\ell_\infty$-확장 성질 및 $\ell_1$-리프팅 성질이 composition 이상 및 $\mathcal{A}$-a.p.의 행동을 결정하는 데 미치는 영향을 조사하는 것.
• $X$의 $\mathcal{A}$-a.p.와 $X^*$의 $\mathcal{A}^\text{dual}$-a.p. 간의 이중성 결과를 수립하며, 특히 임베딩적 및 투사적 이상에 대해 적용하는 것.
• $p$-합산 연산자 및 그들의 근사성질에 대한 기존 결과를 일반적인 연산자 이상 프레임워크로 확장하는 것.

제안 방법

• 연산자 이상 $\mathcal{A}$에 대해 $\text{com}: \mathcal{A} \mapsto \mathcal{K} \circ \mathcal{A} \circ \mathcal{K}$를 정의하여, $\mathcal{A}$와 관련된 컴팩트 수준의 대상을 정의한다.
• $\mathcal{A}$-근사성질을, 모든 Banach 공간 $Y$에 대해 $\overline{\mathcal{F}}(Y,X)$ 가 $\mathcal{A} \circ \mathcal{K}(Y,X)$ 및 $\mathcal{K} \circ \mathcal{A}(Y,X)$ 내에서 조밀해지는 조건으로 정의한다.
• $\ell_\infty$-확장 및 $\ell_1$-리프팅 성질을 도입하여, 연산자 이상 이론에서의 프로젝티브 성질을 일반화한다.
• 임베딩적(또는 투사적) 이상의 복합은 임베딩적(또는 투사적)임을 증명하고, $\ell_\infty$-확장(또는 $\ell_1$-리프팅) 성질을 가진 이상은 복합에 대해 이러한 성질을 유지함을 보인다.
• 이중성 및 접근 가능성 성질을 사용하여, $({\mathcal{A}}^{\min})^{\text{inj}}$ 및 $(({\mathcal{A}}^{\text{dual}})^{\min})^{\text{sur}}$을 $\mathcal{A}$-a.p.와 관련지어 노름 조밀성 조건을 통해 연결한다.
• 접근 가능성 가정 하에, 커널 절차를 적용하여 $({\mathcal{A}}^{\text{com}})^{\text{inj}}$ 및 $({\mathcal{A}}^{\text{com}})^{\text{sur}}$이 각각 $({\mathcal{A}}^{\min})^{\text{inj}}$ 및 $({\mathcal{A}}^{\text{dual}})^{\min}$과 관련이 있음을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Banach 공간 $X$의 $\mathcal{A}$-근사성질이 모든 Banach 공간 $Y$에 대해 $({\mathcal{A}}^{\min})^{\text{inj}}(Y,X) = {\mathcal{A}}^{\min}(Y,X)$ 와 동치일 조건은 무엇인가?
• RQ2 $X^*$의 $\mathcal{A}$-a.p.는 $(({\mathcal{A}}^{\text{dual}})^{\min})^{\text{sur}}$의 투사적 캡슐화와 어떻게 관련되는가?
• RQ3 $\ell_\infty$-확장 및 $\ell_1$-리프팅 성질이 복합 이상에서의 임베딩성/투사성 및 이중성 유지에 미치는 역할은 무엇인가?
• RQ4 $({\mathcal{A}}^{\min})^{\text{inj}} = {\mathcal{A}}^{\min}$이 $X$의 $\mathcal{A}$-a.p.를 유도하는 데 필요한 조건은 무엇인가?
• RQ5 기존의 $\Pi_p$에 대한 $p$-합산 근사성질 특성화 결과는 어떻게 일반적인 연산자 이상 프레임워크로 일반화되는가?

주요 결과

• 임베딩적 연산자 이상 $\mathcal{A}$가 $\ell_\infty$-확장 성질을 가진 경우, Banach 공간 $X$가 $\mathcal{A}$-a.p.를 가질 조건은 모든 Banach 공간 $Y$에 대해 $({\mathcal{A}}^{\min})^{\text{inj}}(Y,X) = {\mathcal{A}}^{\min}(Y,X)$ 와 동치이다.
• 쌍대 공간 $X^*$의 경우, $\mathcal{A}$-a.p.가 성립하는 것은 모든 Banach 공간 $Y$에 대해 $(({\mathcal{A}}^{\text{dual}})^{\min})^{\text{sur}}(X,Y) = ({\mathcal{A}}^{\text{dual}})^{\min}(X,Y)$ 와 동치이다.
• $\mathcal{A}$가 오른쪽 접근 가능하고 투사적인 경우, $X$가 $\mathcal{A}$-a.p.를 가질 조건은 모든 $Y$에 대해 $({\mathcal{A}}^{\min})^{\text{sur}}(Y,X) = {\mathcal{A}}^{\min}(Y,X)$ 와 동치이다.
• $\mathcal{A}$가 오른쪽 접근 가능하고 투사적인 경우, $X^*$가 $\mathcal{A}$-a.p.를 가질 조건은 모든 $Y$에 대해 $(({\mathcal{A}}^{\text{dual}})^{\min})^{\text{inj}}(X,Y) = ({\mathcal{A}}^{\text{dual}})^{\min}(X,Y)$ 와 동치이다.
• 기존의 [8]의 정리 4.5 및 4.6를 일반화하여, $\Pi_p$-근사성질이 $\mathcal{A} = \Pi_p$일 때 $\mathcal{A}$-a.p.의 특수한 경우임을 보여주며, 이는 $\Pi_p$-근사성질이 $\mathcal{A}$-a.p.의 특수한 형태임을 시사한다.
• $\ell_\infty$-확장 및 $\ell_1$-리프팅 성질이 이상 복합에 대해 유지되며, $\mathcal{A}^{\min}$의 임베딩적 및 투사적 캡슐화를 특성화하는 데 핵심적인 역할을 한다.