[논문 리뷰] Compactness estimates for Hamilton-Jacobi equations depending on space

Fabio Ancona, Piermarco Cannarsa외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 13.

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한 줄 요약

이 논문은 공간에 의존하는 해밀턴-자코비 방정식의 해 반군에 대해, $\mathbf{W}^{1,1}_{\text{loc}}$ 위상에서의 코모고로프 $\epsilon$-엔트로피에 대해 순서 $1/\varepsilon^N$ 의 날카운 상계와 하계를 확립한다. 점성해 이론, 반볼록성 추정, 그리고 소규모 시간 가용성 결과를 이용하여 흐름의 컴actifying 효과를 정량화하며, 라크스가 제안한 linh과 수치적 해상도 복잡성 간의 연관성을 뒷받침한다.

ABSTRACT

We study quantitative estimates of compactness in $\mathbf{W}^{1,1}_{loc}$ for the map $S_t$, $t>0$ that associates to every given initial data $u_0\in \mathrm{Lip}(\mathbb{R}^N)$ the corresponding solution $S_t u_0$ of a Hamilton-Jacobi equation $$ u_t+H\big(x, abla_{\!x} u\big)=0\,, \qquad t\geq 0,\quad x\in \mathbb{R}^N, $$ with a convex and coercive Hamiltonian $H=H(x,p)$. We provide upper and lower bounds of order $1/\varepsilon^N$ on the the Kolmogorov $\varepsilon$-entropy in $\mathbf{W}^{1,1}$ of the image through the map $S_t$ of sets of bounded, compactly supported initial data. Quantitative estimates of compactness, as suggested by P.D. Lax, could provide a measure of the order of "resolution" and of "complexity" of a numerical method implemented for this equation. We establish these estimates deriving accurate a-priori bounds on the Lipschitz, semiconcavity and semiconvexity constant of a viscosity solution when the initial data is semiconvex. The derivation of a small time controllability result is also fundamental to establish the lower bounds on the $\varepsilon$-entropy.

연구 동기 및 목표

• 공간에 의존하는 해밀턴-자코비 방정식의 점성해 반군 $S_t$ 가 $\mathbf{W}^{1,1}_{\text{loc}}$ 위상에서 컴팩트라이징 효과를 정량화하는 것.
• 이전에 기울기 의존 해밀턴함수에 국한된 $\epsilon$-엔트로피 추정을, $H = H(x,p)$ 가 공간에 직접적으로 의존하는 일반적인 경우로 확장하는 것.
• 유계이고 compactly 지지된 초기 자료의 이미지에 대한 코모고로프 $\epsilon$-엔트로피에 대해 날카운 순서-$1/\varepsilon^N$ 추정을 제공하는 것.
• 해밀턴-자코비 흐름의 정규화 및 비가역성과 해집합의 엔트로피를 연결하는 것, 라크스가 제안한 linh에 따라.
• 이러한 방정식에 대한 수치적 방법의 복잡성과 엔트로피 추정 간의 연결 고리를 확립하는 것, 특히 $\mathbf{L}^1$-안정적 스킴에 대해.

제안 방법

• 초기 자료가 반볼록일 경우 점성해의 리프시츠, 반볼록성, 반볼록성 상수에 대한 사전 추정을 유도하는 것.
• 최적제어에서의 값 함수 표현을 이용하여 해를 표현하고, 레지온드르 변환 $L(x,q) = \sup_p \{p\cdot q - H(x,p)\}$ 을 활용하는 것.
• 헬리의 컴팩트성 정리와 BV 함수에 대한 파이오카레 부등식을 적용하여 $\mathbf{W}^{1,1}_{\text{loc}}$ 내에서 $S_t(\mathcal{L})$ 의 상대 컴팩트성을 확보하는 것.
• 소규모 시간 가용성 결과를 구성하여, 큰 수의 반볼록 함수를 해집합에 임bedding함으로써 $\epsilon$-엔트로피의 하한을 증명하는 것.
• $\mathbf{W}^{1,1}([-r,r]^N)$ 내에서 커버링 수를 이용하여 이동된 해집합 $S_t(\mathcal{L}) - S_t 0$ 의 $\epsilon$-엔트로피를 추정하는 것. 지원과 정규성의 구조를 활용하는 것.
• 기하학적 및 측도론적 상수로부터 유도된 명시적 상수를 가진, $[-r,r]^N$ 에서 반볼록이고 외부에서는 $S_T 0$ 와 동일한 함수의 가족 $\widetilde{\mathcal{SC}}^{S_T 0,1}_{[r,2m,2K]}$ 의 엔트로피를 통해 하한을 확립하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 공간에 의존하는 해밀턴-자코비 방정식에 대해, $\mathbf{W}^{1,1}_{\text{loc}}$ 내에서 해집합 $S_t(\mathcal{L})$ 의 코모고로프 $\epsilon$-엔트로피의 정확한 순서는 무엇인가?
• RQ2 반군 $S_t$ 의 컴팩트라이징 효과는 초깃값의 지지 집합과 리프시츠 상수에 어떻게 의존하는가?
• RQ3 점성해에 대해 소규모 시간 가용성 결과를 이용하여 $\epsilon$-엔트로피에 대한 날카운 하한을 확립할 수 있는가?
• RQ4 해의 반볼록성 구조가 해집합의 엔트로피에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 엔트로피 추정은 해밀턴-자코비 방정식에 대한 $\mathbf{L}^1$-안정적 수치적 방법의 해상도 복잡성을 정량화하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 해집합 $S_t(\mathcal{L}_{[R,M]}) - S_t 0$ 이 $\mathbf{W}^{1,1}([-r,r]^N)$ 내에서의 코모고로프 $\epsilon$-엔트로피는 $\gamma^{-}_{[r,K,N]} \cdot \frac{1}{\varepsilon^N}$ 보다 크며, $\gamma^{-}_{[r,K,N]} = \frac{1}{8 \ln 2} \left( \frac{K \omega_N r^{N+1}}{48(N+1) 2^{N+1}} \right)^N$ 이다.
• 하한은 소규모 시간 $T \leq \tau_{R,M}$ 에서 $\widetilde{\mathcal{SC}}^{S_T 0,1}_{[r,2m,2K]}$ 의 반볼록 함수 가족을 해집합에 임베딩하여 달성되며, 이는 엔트로피가 $1/\varepsilon^N$ 의 순서로 증가함을 증명한다.
• 정규성과 반군의 컴팩트성에 기반하여 순서 $1/\varepsilon^N$ 의 상한이 확립되어 엔트로피가 $\Theta(1/\varepsilon^N)$ 의 순서로 스케일링됨을 확인한다.
• 해매핑 $S_t$ 는 강력한 정규화 효과를 보인다: 유계이고 컴팩트리지지된 초깃값이 $\mbox{Lip}(\mathbb{R}^N)$ 에 속해도, 국소 반볼록성 덕분에 $\mathbf{W}^{1,1}_{\text{loc}}$ 내에서 전컴팩트이다.
• 소규모 시간 가용성 결과는 하한을 확보하는 데 필수적이며, 소규모 $T$ 에서 해집합이 제어된 반볼록성과 지지 집합을 가진 큰 수의 함수를 포함하고 있음을 보여준다.
• 엔트로피 추정은 해밀턴-자코비 방정식에 대한 수치적 방법의 복잡성을 정량화하는 데 유용하며, 라크스가 주장한 $\mathbf{L}^1$-안정성과 오차 추정을 뒷받침한다.