[논문 리뷰] Compactness results for triholomorphic maps

Costante Bellettini, Gang Tian|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 23.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 2인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 거의 초하이퍼헤르미트 다양체에서 단순연결 초카일러 다양체로의 삼홀로모르픽 사상에 대해 컴팩턴스 및 정규성 결과를 확립하며, $\varepsilon$-정규성 결과와 $bmo$-$\mathscr{h}^1$ 쌍대성에 의한 $W^{2,1}$-추정을 증명한다. 붕괴 집합에서 에너지 양자화를 보이며, 버블은 해당 점에 따라 달라지는 복소構조에 대해 헬름홀로모르픽이며, 만약 특이 집합이 리프시츠 그래프에 포함되어 있다면, 이는 일정한 결함 측도와 공통의 헬름홀로모르픽 버블을 가진 매끄러운 편의홀로모르픽 곡선임을 증명한다.

ABSTRACT

We consider triholomorphic maps from an almost hyper-Hermitian manifold $\mathcal{M}^{4m}$ into a hyperKähler manifold $\mathcal{N}^{4n}$. This means that $u \in W^{1,2}$ satisfies a quaternionic del-bar equation. We work under the assumption that $u$ is locally strongly approximable in $W^{1,2}$ by smooth maps: then such maps are almost stationary harmonic (when $\mathcal{M}$ is hyperKähler as well, then stationary harmonic). We show that in this more general situation the classical $ε$-regularity result still holds. We then address compactness issues for a weakly converging sequence $u_\ell ightharpoonup u_\infty$ of strongly approximable triholomorphic maps $u_\ell:\mathcal{M} o \mathcal{N}$ with uniformly bounded Dirichlet energies. The blow up analysis leads, as in the usual stationary setting, to the existence of a rectifiable blow-up set $Σ$ of codimension $2$, away from which the sequence converges strongly. The defect measure $Θ(x) {\mathcal{H}}^{4m-2} \llcorner Σ$ encodes the loss of energy in the limit; we prove that for a.e. point on $Σ$ the value of $Θ$ is given by the sum of energies of a (finite) number of smooth non-constant holomorphic bubbles (here the holomorphicity is understood w.r.t. a complex structure on $\mathcal{N}$ that depends on the chosen point on $Σ$). In the case that $\mathcal{M}$ is hyperKähler this result was established by C. Y. Wang (2003) with a different proof; we rely on Lorentz space estimates. By means of a calibration and a homological argument we further prove that for each portion of $Σ\setminus ext{Sing}_{u_\infty}$ contained in a Lipschitz graph we find a unique alm. compl. st. on $\mathcal{M}$ that makes the portion pseudoholomorphic and smooth, with $Θ$ constant; moreover the bubbles originating at points of such a smooth piece are holomorphic for a common complex structure.

연구 동기 및 목표

• 약한 정규성 가정 하에서 삼홀로모르픽 사상에 대한 $\varepsilon$-정규성 및 $W^{2,1}$-추정을 확립하기 위해.
• 에너지가 유계인 삼홀로모르픽 사상의 약한 수렴 수열의 붕괴 행동을 분석하기 위해.
• 특이 집합에서 에너지 양자화를 증명하고, 결함 측도를 헬름홀로모르픽 버블들의 에너지 합으로 식별하기 위해.
• 특이 집합이 리프시츠 그래프에 포함되어 있을 경우의 구조를 특성화하여, 이는 일정한 결함 측도와 공통의 헬름홀로모르픽 버블을 가진 매끄러운 편의홀로모르픽 곡선임을 보여주기 위해.

제안 방법

• 비매끄러운 삼홀로모르픽 사상으로까지 $\varepsilon$-정규성 결과를 확장하기 위해 $bmo$-$\mathscr{h}^1$ 쌍대성을 사용하기 위해.
• 삼홀로모르픽 방정정식과 기하학적 구조를 통해 $u$의 라플라스 연산자의 이阶 PDE 유도하기 위해.
• 로렌츠 공간 추정을 적용하여 헤시안의 $L^{1}$-노름을 통제하고 $W^{2,1}$-추측을 확립하기 위해.
• 붕괴 분석을 통해 에너지 집중이 발생하는 여부가 2차원의 여부를 가지는 정렬 가능한 특이 집합 $\Sigma$를 식별하기 위해.
• 캘리브레이션 및 호몰로지적 추론을 통해 $\Sigma$가 리프시츠 그래프에 포함되어 있다면, 이는 일정한 결함 측도를 가진 매끄러운 부분다양체임을 증명하기 위해.
• 접속을 통한 푸에터 섹션으로의 환원을 통해, 편미분방정식의 고차항에 영향을 주는 항들이 오직 저차항에만 영향을 주며 핵심 분석을 유지함을 보여주기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 삼홀로모르픽 사상이 매끄럽지 않더라도 $W^{1,2}$에서 국소적으로 강하게 근사 가능한 경우, $\varepsilon$-정규성 원리가 성립하는가?
• RQ2 동일한 약한 정규성 가정 하에서 삼홀로모르픽 사상에 대해 $W^{2,1}$-추측을 증명할 수 있는가?
• RQ3 특이 집합 $\Sigma$에서 에너지 양자화가 성립하는가? 이 경우 결함 측도는 헬름홀로모르픽 버블들의 에너지 합으로 주어지는가?
• RQ4 특이 집합 $\Sigma$가 어떤 기하학적 조건을 만족할 경우, 일정한 결함 측도와 공통의 헬름홀로모르픽 버블을 가진 매끄러운 편의홀로모르픽 부분다양체가 되는가?
• RQ5 접속에 의한 저차항 편미분항(예: 푸에터 섹션에서)은 컴팩턴스 및 정규성 결과에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 삼홀로모르픽 사상이 국소적으로 $W^{1,2}$에서 강하게 근사 가능한 경우, $\varepsilon$-정규성 결과는 성립하며, 고전 결과를 더 넓은 클래스로 확장한다.
• 사전 추정으로서의 $W^{2,1}$-추정이 확립된다: 모든 $\ell$에 대해 $\|u_{\ell}\|_{W^{2,1}} \leq C E(u_{\ell})$이며, 이는 $W^{2,1}$-추측을 증명한다. 여기서 $C>0$는 보편 상수이다.
• 결함 측도 $\Theta \mathcal{H}^{4m-2}\mathop{\vrule height 7.0pt,width 0.5pt,depth 0.0pt\vrule height 0.5pt,width 6.0pt,depth 0.0pt}}\nolimits \Sigma$는 양자화된다: $\mathcal{H}^{4m-2}$-거의 모든 $x \in \Sigma$에 대해 $\Theta(x) = \sum_{s=1}^{S_x} E(\zeta_s)$이며, 여기서 $\zeta_s$는 비정상적인 헬름홀로모르픽 원판이다.
• 만약 $\Sigma \cap (\mathcal{M} \setminus \text{Sing}_{u_\infty})$가 리프시츠 연결 그래프에 포함되어 있다면, 이 부분은 경계가 없는 매끄러운 부분다양체이며, $\Theta$는 이 위에서 일정하다.
• 이 매끄러운 부분의 점들에서의 버블들은 모두 $\mathcal{N}$에서 동일한 복소구조에 대해 헬름홀로모르픽이며, $\mathcal{M}$의 거의 복소구조는 이 집합에서 유일하게 결정된다.
• 결과는 접속이 있는 푸에터 섹션으로까지 확장되며, 편미분방정식의 편미분항이 오직 저차항에만 영향을 주고, $\mathscr{h}^1$-구조나 컴팩턴스 결론에 영향을 주지 않기 때문이다.