[논문 리뷰] Comparing globular complex and flow

Philippe Gaucher|ArXiv.org|2003. 08. 07.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 21인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 S-호모토피 및 T-호모토피 동치를 유지하는 글로부라 CW-복합체에서 플로우로의 함자를 구성하며, 글로부라 CW-복합체의 S-호모토피에 대한 국소화와 플로우의 약한 S-호모토피 동치에 대한 국소화 사이의 동치를 확립한다. 주요 기여는 이러한 함자를 통해 플로우의 기저 호모토피 유형을 정의함으로써, 디하모토피-불변 호모토피 유형 구조를 제공하는 것이다.

ABSTRACT

A functor is constructed from the category of globular CW-complexes to that of flows. It allows the comparison of the S-homotopy equivalences (resp. the T-homotopy equivalences) of globular complexes with the S-homotopy equivalences (resp. the T-homotopy equivalences) of flows. Moreover, it is proved that this functor induces an equivalence of categories from the localization of the category of globular CW-complexes with respect to S-homotopy equivalences to the localization of the category of flows with respect to weak S-homotopy equivalences. As an application, we construct the underlying homotopy type of a flow.

연구 동기 및 목표

• 지향 호모토피 이론의 맥락에서 글로부라 CW-복합체와 플로우의 호모토피 이론을 비교하기 위해.
• S-호모토피 및 T-호모토피 동치를 유지하는 글로부라 CW-복합체에서 플로우로의 함자를 수립하기 위해.
• 디하모토피 불변으로서 플로우의 기저 호모토피 유형을 정의함으로써, 지향 구조에서 고전적 호모토피 유형을 추출할 수 있도록 하기 위해.
• 함수를 통해 플로우에서의 약한 S-호모토피 동치와 T-호모토피 동치가 글로부라 복합체에서의 대응 요소들과 대응됨을 보여주기 위해.

제안 방법

• 실행 경로의 준-플로우 구조와 기하학적 실현을 사용하여, 글로부라 CW-복합체의 범주에서 플로우의 범주로의 함자 $\mathsf{cat}$ 를 구성한다.
• цิ린더 함자와 호모토피 확장 성질을 사용하여, 양 범주에서 S-호모토피 및 T-호모토피 동치를 정의한다.
• 플로우 범주에서의 $\mathsf{Glob}(\partial Z) \to \mathsf{Glob}(Z)$ 의 쌍대곱을 사용하여 세포 부착을 모델링한다.
• 실행 경로와 S-호모토피를 비교하기 위해 호모토피 극한과 호모토피 당김을 적용한다.
• 약한 S-호모토피 동치를 약한 동치로 하는 플로우의 범주에 모델 구조를 수립한다.
• 이 함자를 통해 $\mathbf{glCW}[\mathcal{SH}^{-1}]$ 과 $\mathbf{Flow}[\mathcal{S}^{-1}]$ 의 국소화 범주 사이의 동치를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 글로부라 CW-복합체에서 플로우로의 함자가 양 범주 내의 S-호모토피 동치를 유지하는가?
• RQ2 플로우의 기저 호모토피 유형은 글로부라 복합체에 의존하지 않고 독립적으로 정의될 수 있으며, 디하모토피 불변인가?
• RQ3 글로부라 복합체에서의 T-호모토피 동치와 플로우에서의 T-호모토피 동치 사이에 함수를 통해 대응 관계가 존재하는가?
• RQ4 국소화에 대한 유도된 함수가 $\mathbf{glCW}[\mathcal{SH}^{-1}]$ 과 $\mathbf{Flow}[\mathcal{S}^{-1}]$ 사이의 범주 동치를 확립하는가?
• RQ5 플로우에서 위상공간의 호모토피 범주로의 기저 호모토피 유형 함자 $|-|: \mathbf{Flow} \to \mathbf{Ho}(\mathbf{Top})$ 는 잘 정의되어 있으며, 약한 S-호모토피 및 T-호모토피 동치에 대해 불변인가?

주요 결과

• 함자 $\mathsf{cat}: \mathbf{glCW} \to \mathbf{Flow}$ 는 S-호모토피 동치에 대한 국소화된 글로부라 CW-복합체와 약한 S-호모토피 동치에 대한 국소화된 플로우 사이의 범주 동치를 유도한다.
• 글로부라 복합체에서의 S-호모토피 동치는 $\mathsf{cat}$ 에서의 이미지 플로우에서 정확히 약한 S-호모토피 동치로 대응되며, 그 반대도 마찬가지다.
• 글로부라 CW-복합체의 T-호모토피 동치는 $\mathsf{cat}$ 에서 플로우의 T-호모토피 동치로 대응되며, 이는 양 호모토피 이론과의 호환성을 보장한다.
• 기저 호모토피 유형 함자 $|-|: \mathbf{Flow} \to \mathbf{Ho}(\mathbf{Top})$ 는 잘 정의되어 있으며, 약한 S-호모토피 및 T-호모토피 동치를 호모토피 범주에서의 동형으로 보낸다.
• 플로우의 기저 호모토피 유형의 구성은 디하모토피 불변이며, 지향 호모토피 이론에서의 표준 불변으로서의 역할을 한다.
• 임의의 플로우 $X$ 에 대해, 기저 호모토피 유형 $|X|$ 는 $\mathsf{cat}(X)$ 의 기저 위상공간의 호모토피 유형과 동형이며, 이 구성은 S- 및 T-호모토피 동치와 호환된다.