[논문 리뷰] Comparing Three Notions of Discrete Ricci Curvature on Biological Networks

Maryam Pouryahya, James C. Mathews외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 08.

Topological and Geometric Data Analysis참고 문헌 2인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 생물학적 및 암 네트워크에서 세 가지 이산 리만 곡률 개념—올리비에, 바크리-에메르, 포르만—을 비교하여 모두 동일한 결과를 도출함을 보여준다. 또한 전사 네트워크의 방향성과 부호가 있는 상호작용을 모델링하기 위해 서명 제어 리만 곡률을 도입하여, 곡률이 높을수록 네트워크의 내성과 기능적 안정성이 높다는 것을 확인한다.

ABSTRACT

In the present work, we study the properties of biological networks by applying analogous notions of fundamental concepts in Riemannian geometry and optimal mass transport to discrete networks described by weighted graphs. Specifically, we employ possible generalizations of the notion of Ricci curvature on Riemannian manifold to discrete spaces in order to infer certain robustness properties of the networks of interest. We compare three possible discrete notions of Ricci curvature (Olivier Ricci curvature, Bakry-Émery Ricci curvature, and Forman Ricci curvature) on some model and biological networks. While the exact relationship of each of the three definitions of curvature to one another is still not known, they do yield similar results on our biological networks of interest. These notions are initially defined on positively weighted graphs; however, Forman-Ricci curvature can also be defined on directed positively weighted networks. We will generalize this notion of directed Forman Ricci curvature on the network to a form that also considers the signs of the directions (e. g., activator and repressor in transcription networks). We call this notion the \emph{signed-control Ricci curvature}. Given real biological networks are almost always directed and possess positive and negative controls, the notion of signed-control curvature can elucidate the network-based study of these complex networks. Finally, we compare the results of these notions of Ricci curvature on networks to some known network measures, namely, betweenness centrality and clustering coefficients on graphs.

연구 동기 및 목표

• 가중치가 부여되고 방향성이 있는 생물학적 네트워크에서 세 가지 다른 이산 리만 곡률 정의—올리비에, 바크리-에메르, 포르만—를 평가하고 비교한다.
• 리만 곡률과 전통적인 네트워크 측정치인 중간성 중심성 및 군집 계수 간의 관계를 조사한다.
• 전사 네트워크에서 활성화와 억제를 모델링하기 위해 서명 제어 리만 곡률의 개념을 도입함으로써 포르만 리만 곡률을 방향성과 부호가 있는 네트워크로 일반화한다.
• 리만 곡률이 기능적 안정성의 강력한 지표가 될 수 있는지, 특히 정상 네트워크와 암 네트워크를 구분하는 데 유용한지 평가한다.
• 최적 질량 이동 이론을 통해 엔트로피와 시스템의 내성과 연결된 기하학적 측정치로서 리만 곡률의 잠재력을 탐색한다.

제안 방법

• 가중 그래프 위의 확률 측도에 대해 워샤르슈타인 2-거리(Wasserstein 2-distance)를 사용하여 올리비에 리만 곡률을 적용하고, 곡률 추정을 위해 최적 운반 이론을 활용한다.
• 그래프에 정의된 마코프 과정에 대해 Γ₂-계산법을 사용하여 바크리-에메르 리만 곡률을 구현하며, 리만 곡률과 라플라스 연산자 고유값 간의 관계를 보처 공식을 통해 연결한다.
• 1차원 세포 복합체(그래프)에 대해 포르만 리만 곡률을 사용하며, 라플라스 연산자의 보처-바이텐보크 분해를 기반으로 간선 기반 곡률을 정의한다.
• 간선의 방향성과 부호(활성화자/억제자)를 곡률 계산에 통합함으로써 포르만 리만 곡률을 방향성과 부호가 있는 네트워크로 일반화하고, 서명 제어 리만 곡률을 도입한다.
• 모델 및 실제 생물학적 네트워크(스케일프리 네트워크 및 유방암 네트워크 포함)에서 각 노드의 스칼라 곡률을 계산하고, 세 곡률 정의 간 결과를 비교한다.
• 피어슨 상관계수를 사용하여 곡률 값과 중간성 중심성 및 국소 군집 계수 간의 상관관계를 분석함으로써 구조적 해석 가능성 여부를 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 생물학적 및 암 네트워크에서 세 가지 이산 리만 곡률 개념—올리비에, 바크리-에메르, 포르만—은 값과 분포 측면에서 어떻게 비교될 수 있는가?
• RQ2 리만 곡률과 중간성 중심성 및 군집 계수와 같은 전통적인 네트워크 측정치 간의 관계는 어떠한가?
• RQ3 서명 제어 리만 곡률은 전사 네트워크의 조절 상호작용의 방향성과 부호를 효과적으로 포괄할 수 있는가?
• RQ4 암 네트워크는 정상 네트워크보다 체계적으로 더 높은 평균 리만 곡률을 보이며, 이는 더 높은 내성과 관련이 있는가?
• RQ5 다른 수학적 기반을 지닌 세 곡률 정의가 비록 다르게 보이지만, 동일한 토폴로지적 통찰을 제공하는가?

주요 결과

• 올리비에, 바크리-에메르, 포르만의 세 이산 리만 곡률 정의 모두 생물학적 네트워크에서 중간성 중심성 및 군집 계수와 매우 유사한 상관 패턴을 보이며, 일관된 토폴로지적 통찰을 제공한다.
• 모든 세 곡률 방법에서 리만 곡률과 중간성 중심성 간의 피어슨 상관계수(R)는 유사하여, 곡률이 중심성 유사 측정치로서의 강건성을 보여준다.
• 리만 곡률과 군집 계수 간의 상관관계는 네트워크 간에 약하고 일관되지 않으며, 이는 곡률과 군집 계수가 서로 다른 네트워크 성질을 측정한다는 것을 시사한다.
• 모든 세 곡률 정의에서 암 네트워크는 정상 네트워크보다 일관되게 더 높은 평균 리만 곡률을 보이며, 이는 더 높은 곡률이 기능적 내성과 관련이 있음을 뒷받침한다.
• 제안된 서명 제어 리만 곡률은 포르만 곡률을 방향성과 부호가 있는 네트워크로 확장하는 데 성공하여, 전사 조절에서의 활성화와 억제를 모델링할 수 있게 한다.
• 결과는 리만 곡률이 엔트로피와 시스템의 내성과 연결된 기하학적 측정치로 사용될 수 있음을 지지하며, 곡률 순위를 통해 핵심 노드(예: 암 타겟)를 식별할 잠재력이 있다.