[논문 리뷰] Comparison between compactly-supported spherical radial basis functions and interpolating moving least squares meshless interpolants for gravity data interpolation in geodesy and geophysics

Mostafa Kiani Shahvandi|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 17.

Geophysics and Gravity Measurements참고 문헌 13인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 남아프리카에서 중력 데이터를 보간하기 위해 유한지지 구면 기저 함수(CSSRBF)와 보간형 이동 최소제곱(IMLS) 방법을 비교한다. 관측된 중력 가속도를 바탕으로, CSSRBF는 특히 로그 및 포아송 핵을 사용할 경우 IMLS보다 더 높은 정확도와 더 빠른 계산을 달성하며, 최적 설정에서 IMLS의 26.9 mGal보다 낮은 표준편차(24.4–25.8 mGal)를 보이며 우수한 효율성과 낮은 표준편차를 입증한다.

ABSTRACT

The present paper is focused on the comparison of the efficiency of two important meshless interpolants for gravity acceleration interpolation. Compactly-supported spherical radial basis functions and interpolating moving least squares are used to interpolate actual gravity accelerations in southern Africa. Interpolated values are compared with actual values, gathered by observation. A thorough analysis is presented for the standard deviation of the differences between interpolated and actual values. Three different class of spherical radial basis functions-Poisson, singularity, and logarithmic-and four different type of basis functions for interpolating moving least squares approach-planar, quadratic, cubic, and spherical harmonics-are used. It is shown that in this particular problem compactly-supported spherical radial basis functions are faster and capable of achieving higher accuracies, compared to interpolating moving least squares scheme.

연구 동기 및 목표

• 중력 가속도 데이터 보간에서 유한지지 구면 기저 함수(CSSRBF)와 보간형 이동 최소제곱(IMLS)의 효율성과 정확도를 평가하고 비교하는 것.
• IMLS 방법에서 다양한 기저 함수(평면형, 2차형, 3차형, 구면 조화함수)와 CSSRBF 방법에서 다양한 구면 핵(포아송, 특이성, 로그)의 성능을 평가하는 것.
• 보간된 값과 관측된 중력 값 간의 표준편차가 가장 낮아지는 방법을 규명하여 더 높은 정확도를 도출하는 것.
• 점의 구성과 이웃 점의 수가 보간 정확도와 계산 효율성에 미치는 영향을 분석하는 것.
• 실제 지질학적 및 지구물리학적 데이터 보간에 있어 CSSRBF가 IMLS보다 속도, 정확도, 유연성 측면에서 우월한지 규명하는 것.

제안 방법

• IMLS 방법은 국소적으로 지지되는 가중 함수를 사용하는 최소제곱 기반 국소 근사법으로, 척도 매개변수 δ와 반경 가중 함수 ψ(r)에 의해 정의되며, 여기서 r = ||ξ − ηⱼ|| / δ이다.
• IMLS에는 네 가지 유형의 기저 함수가 사용된다: 평면형(1, x, y, z), 2차형(최대 2차 항까지), 3차형(최대 3차 항까지), 구면 조화함수(최대 차수 v까지).
• CSSRBF는 유한지지 구면 핵(포아송, 특이성, 로그)을 사용하며, 형상 매개변수 h와 이웃 수 n을 가진다. 여기서 보간은 국소적 지지 반경 내에서만 수행된다.
• 보간 오차는 2,000개의 테스트 점에서 보간된 값과 관측된 중력 값 간의 차이의 표준편차(σ)를 사용하여 정량화된다.
• IMLS의 경우 구면 조화함수 기저 함수의 차수(v)에 따라, CSSRBF의 경우 이웃 수(n)와 형상 매개변수(h)에 따라 성능을 평가한다.
• 비교 분석은 남아프리카의 12,559개의 알려진 점에서 확보한 실제 중력 데이터를 바탕으로 수행되었으며, 정확도 검증을 위해 2,000개의 보간 점이 사용되었다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 남아프리카에서 보간된 값과 관측된 중력 값 간의 표준편차가 더 낮아지는 방법은 CSSRBF인지 IMLS인지?
• RQ2 다양한 기저 함수(평면형, 2차형, 3차형, 구면 조화함수)가 IMLS 보간 방법의 정확도와 안정성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 구면 핵(포아송, 특이성, 로그)과 형상 매개변수 h의 선택이 CSSRBF의 성능에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 이웃 점의 수(n)와 척도 매개변수 δ가 보간 정확도와 계산 효율성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 CSSRBF가 유한지지와 국소적 계산 덕분에, 정확도가 유사하거나 더 뛰어난 경우에도 IMLS보다 계산적 우월성을 보이는가?

주요 결과

• CSSRBF는 포아송 핵을 사용하고 n = 20, h = 0.8일 때 최소 표준편차 24.4 mGal을 달성하여, v = 8에서 구면 조화함수를 사용한 최고의 IMLS 결과인 26.9 mGal를 초월했다.
• CSSRBF의 로그 핵은 n = 20, h = 0.8일 때 표준편차 25.8 mGal을 기록했으며, 이는 최고의 IMLS 결과보다 낮고, 81개 점 대신 20개 점만으로도 달성되었다.
• 특이성 핵의 경우, n = 4, h = 0.3과 n = 10, h = 0.65일 때 CSSRBF가 IMLS보다 더 낮은 표준편차를 기록하여 특정 매개변수 설정에서 뛰어난 성능을 보였다.
• 보간 점과 알려진 점 간의 위치 구성이 점의 수보다 더 강한 영향을 미치는 것으로 나타났으며, 이는 4점 평면형 IMLS가 10점 2차형 IMLS를 능가하는 등 명백히 드러났다.
• CSSRBF는 IMLS의 단일 매개변수(n)에 비해 두 개의 조정 가능한 매개변수(n과 h)를 가짐으로써 더 높은 조정 정밀도를 제공하여 더 큰 유연성을 확보했다.
• IMLS의 기저 함수 행렬의 조건수는 구면 조화함수의 차수(v)가 증가함에 따라 증가하여 v > 8를 초과하면 안정성과 신뢰성이 떨어졌지만, CSSRBF는 시험된 모든 매개변수 설정에서 안정성을 유지했다.