[논문 리뷰] Comparison Methods for a Keller--Segel-type Model of Pattern Formations with Density-suppressed Motilities

Kentarou Fujie, Jie Jiang|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 01.

Mathematical Biology Tumor Growth참고 문헌 27인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 밀도 억제 운동성 함수를 가진 켈러-세겔 유형 모델을 분석하기 위해 새로운 비교 원리를 개발하며, 무한대에서 0으로 수렴하는 일반적인 감소하는 양의 운동성 함수에 대해 유한 시간 내에 비가역성이 발생하지 않음을 증명한다. n ≤ 3인 경우 고전적 해의 전역 존재성과 시간에 관계없이 유계성을 확립한다. 2차원에서는 임계 질량 현상이 나타나며, 임계 질량 이하일 경우 전역 유계성이 유지되고, 초임계 질량일 경우 무한대에서 유계성이 해제된다—이는 고전적 켈러-세겔 모델의 유한 시간 폭발과 뚜렷하게 대비된다.

ABSTRACT

This paper is concerned with global existence as well as infinite-time blowups of classical solutions to the following fully parabolic kinetic system \begin{equation} \begin{cases} u_t=Δ(γ(v)u) v_t-Δv+v=u \end{cases} \qquad(0.1)\end{equation} in a smooth bounded domain $Ω\subset\mathbb{R}^n$, $n\geq1$ with no-flux boundary conditions. This model was recently proposed in [8,20] to describe the process of stripe pattern formations via the so-called self-trapping mechanism. The system features a signal-dependent motility function $γ(\cdot)$, which is decreasing in $v$ and will vanish as $v$ tends to infinity. The major difficulty in analysis comes from the possible degeneracy as $v earrow+\infty.$ In this work we develop a new comparison method different from the conventional energy method in literature, which reveals a striking fact that there is no finite-time degeneracy in this system. More precisely, we use comparison principles for elliptic and parabolic equations to prove that degeneracy cannot take place in finite time in any spatial dimensions for all smooth motility functions satisfying $γ(s)>0$, $γ'(s)\leq0$ when $s\geq0$ and $\lim\limits_{s ightarrow+\infty}γ(s)=0.$ Then we investigate global existence of classical solutions to (0.1) when $n\leq3$ and discuss the uniform-in-time boundedness under certain growth conditions on $1/γ.$ In particular, we consider system (0.1) with $γ(v)=e^{-v}$. We prove that classical solution always exists globally, which must be uniformly-in-time bounded with arbitrary initial data of sub-critical mass. On the contrary, with certain initial data of super-critical mass, the solution will become unbounded at time infinity which differs from the finite-time blowup behavior of the Keller--Segel model.

연구 동기 및 목표

• 운동성 함수 γ(v)가 v → ∞일 때 감소하고 0으로 수렴하는 완전히 포물선형 켈러-세겔 유형 모델에서 비가역성 문제를 다루기 위해.
• γ(v)가 비가역성이 되었을 때, v에 대한 균일한 유계성을 확립하는 데 있어 전통적인 에너지 방법의 한계를 극복하기 위해.
• γ(s) > 0, γ′(s) ≤ 0, lim_{s→∞} γ(s) = 0 를 만족하는 일반적인 운동성 함수 하에서 고전적 해의 전역 존재성과 시간에 관계없이 유계성을 조사하기 위해.
• 특히 다양한 初기 질량 조건 하에서 해의 장기적 행동을 명확히 하기 위해.
• 고전적 켈러-세겔 모델과는 다를 바 있는 임계 질량 현상이 모델에 존재함을 입증하기 위해, 즉 초임계 질량일 경우 유한 시간 폭발이 아닌 무한대에서의 비유계성으로 이어짐을 보여주기 위해.

제안 방법

• u의 L^p 적분 가능성에 의존하지 않는 시스템 분석을 위해, 표준 에너지 방법과 다름없는 타원형 및 포물선형 방정식에 대한 새로운 비교 원리를 개발하였다.
• 시스템의 구조적 성질을 활용하여 v에 대한 직접적인 상한을 도출함으로써, γ(v)의 감쇠 속도나 γ′의 유계성에 대한 가정을 피함.
• 포물선-타원형 근사와 전체 포물선 시스템을 분석하며, γ(v) = e^{-v}의 경우에 특별히 주목함. 이 경우 고전적 켈러-세겔 모델과 동일한 평형점과 리아푸노프 함수를 유지함.
• 비대칭 라디얼 프로파일과 로그 컷오프를 활용해 정교하게 설계된 초기 자료를 구성하여 임계 질량 임계값의 날카로움을 시험함.
• 장기적 행동 분석을 위해 리아푸노프 함수를 사용하고, 전역 유계성을 가정한 후 그 기능의 하한을 위반하는 모순을 유도하는 반증 기법을 적용함.
• 큰 질량과 높은 농도를 가진 초기 자료를 구성함으로써 리아푸노프 함수가 임계 이하로 떨어지게 하고, 이는 모순을 통해 장기적으로 비유계성이 발생함을 증명함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 γ(v) → 0 as v → ∞ 이지만, 시스템의 포물선적 구조와 신호 의존성 확산을 고려할 때, 운동성 함수 γ(v)의 비가역성이 유한 시간 내에 발생할 수 있는가?
• RQ2 n ≤ 3 인 경우, 특히 e^{-v}처럼 급격히 감쇠하는 γ(v)일 때, 모든 초기 자료에 대해 전역 고전적 해가 존재하는가?
• RQ3 2차원에서 해의 장기적 행동은 어떻게 되며, 고전적 켈러-세겔 모델과 폭발 또는 유계성 측면에서 어떻게 다를까?
• RQ4 2차원에서 전역 유계성과 비유계성 사이를 나누는 임계 질량 임계값이 존재하는가? 그리고 이는 고전적 모델의 유한 시간 폭발과 어떻게 비교되는가?
• RQ5 유한 시간 폭발 없이도, 리아푸노프 함수를 사용해 초임계 질량 초기 자료에 대해 무한대에서의 비유계성을 증명할 수 있는가?

주요 결과

• lim_{s→∞} γ(s) = 0 를 만족하는 모든 매끄럽고 양이며 감소하는 γ(v)에 대해, 공간 차원에 관계없이 유한 시간 내에 운동성 함수의 비가역성이 발생하지 않는다.
• n ≤ 3 이며 운동성 함수가 제시된 조건을 만족할 경우, 모든 초기 자료에 대해 고전적 해가 존재하고 시간에 관계없이 유계이다.
• 2차원에서는 임계 질량 현상이 나타나며, 임계 질량 이하의 해는 전역적으로 유계이고, 초임계 질량 해는 t → ∞ 일 때 비유계가 된다.
• γ(v) = e^{-v} 인 경우, 시스템은 고전적 켈러-세겔 모델과 동일한 평형점과 리아푸노프 함수를 공유하지만, 장기적 행동은 근본적으로 다르며, 유한 시간 폭발이 발생하지 않는다.
• 임계 질량 임계값은 날카롭다: 질량이 8π를 초과하는 초기 자료는 무한대에서 비유계 해를 유도할 수 있으며, 이 임계값은 초기 자료의 공간 분포와는 무관하다.
• 큰 질량과 집중된 프로파일을 가진 초기 자료의 구성은 리아푸노프 함수가 모든 가능한 정적 상태의 하한 이하로 떨어지게 하며, 이는 모순을 통해 비유계성을 증명한다.