[논문 리뷰] Comparison of holographic and field theoretic complexities by time dependent thermofield double states

Keun-Young Kim, Chao Niu외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 02.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 33인용 수 26

한 줄 요약

이 논문은 열역학적 이중 상태에서 시간에 따라 변화하는 복잡도를 계산하기 위한 네 가지 제안 사항—두 가지 허모그래픽(카르멘-아이젠버그, CV)과 두 가지 양자장 이론적(푸비니-슈테이, 펄러 지오메트리)—을 비교한다. 모든 방법이 만료된 복잡도 성장률이 라울드의 경계($2E/(π\hbar)$)에 도달하는 데 일치하지만, 초기 시점의 행동은 다름: CV와 펄러 지오메트리에서는 선형 증가, 푸비니-슈테이에서는 선형 감소, CA에서는 변화 없음으로 나타나, CV와 펄러 지오메트리 간의 더 깊은 연결 고리가 있음을 시사한다.

ABSTRACT

We compute the time-dependent complexity of the thermofield double states by four different proposals: two holographic proposals based on the "complexity-action" (CA) conjecture and "complexity-volume" (CV) conjecture, and two quantum field theoretic proposals based on the Fubini-Study metric (FS) and Finsler geometry (FG). We find that four different proposals yield both similarities and differences, which will be useful to deepen our understanding on the complexity and sharpen its definition. In particular, at early time the complexity linearly increase in the CV and FG proposals, linearly decreases in the FS proposal, and does not change in the CA proposal. In the late time limit, the CA, CV and FG proposals all show that the growth rate is $2E/(π\hbar)$ saturating the Lloyd's bound, while the FS proposal shows the growth rate is zero. It seems that the holographic CV conjecture and the field theoretic FG method are more correlated.

연구 동기 및 목표

• 시간에 따라 변화하는 열역학적 이중(TFD) 상태에서 양자 복잡도를 계산하기 위한 네 가지 다른 제안 사항을 비교하기 위해.
• 허모그래픽(CA 및 CV)과 장 이론적(FS 및 FG) 복잡도 정의 간의 일관성과 차이를 조사하기 위해.
• 만료된 시점의 복잡도 성장률이 라울드 경계와 일치하는지, 그리고 초기 시점의 역학이 각 방법에 따라 어떻게 다를지 확인하기 위해.
• 특히 CV와 펄러 지오메트리 간의 구조적 유사성에 기반해, 허모그래픽과 장 이론적 접근 간의 상관관계를 평가하기 위해.

제안 방법

• 영구적인 AdS 블랙홀의 웨일러-데위트 패치에서의 작용과 복잡도를 동치로 둔 CA 추측을 계산한다.
• CV 추측을 적용하여, 두 AdS 경계의 시간 슬라이스를 연결하는 스피노이드 슬라이스의 최대 부피로 복잡도를 정의한다.
• 푸비니-슈테이(FS) 방법을 사용하여, 양자 상태 간의 지오데식 길이로 복잡도를 계산한다.
• 펄러 지오메트리(FG) 방법을 사용하여, 연산자 복잡도를 펄러 기하학으로 정의하고, 지오데식 최적화를 통해 이를 상태 복잡도로 확장한다.
• 시간에 따라 변화하는 TFD 상태의 경계 조건 하에 제약 조건이 있는 최적화 문제를 풀어 FG 방법의 복잡도를 구한다.
• 연산자 분해 $\hat{U} = \prod_{\vec{k}} \hat{U}_{\vec{k}}$ 를 사용하여 운동량 공간에서 복잡도를 유도하며, $\hat{U}_{\vec{k}}$ 는 $\gamma_{+}, \gamma_{-}, \gamma_{0}$ 로 매개변수화된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 CA, CV, FS, FG 네 가지 복잡도 제안 사항은 시간에 따라 변화하는 열역학적 이중 상태에 대해 어떻게 예측을 비교하는가?
• RQ2 허모그래픽과 장 이론적 복잡도 정의는 라울드 경계에 대해 만료된 시점의 행동에서 일관성을 보이는가?
• RQ3 각 네 가지 제안 사항에 따라 복잡도의 초기 시점 행동은 어떻게 되며, 이는 그들의 물리적 관련성에 대해 어떤 시사점을 갖는가?
• RQ4 CV 추측과 펄러 지오메트리 방법 간의 유사한 시간 진화를 고려할 때, 이 둘 사이에 더 깊은 구조적 상관관계가 있는가?
• RQ5 펄러 지오메트리 접근법은 일관된 역학을 보이며, 허모그래픽 복잡도에 대한 타당한 장 이론적 대안을 제공할 수 있는가?

주요 결과

• 초기 시점에서, CV와 펄러 지오메트리(FG) 제안 사항은 복잡도가 선형적으로 증가한다고 예측하지만, 푸비니-슈테이(FS) 제안 사항은 선형 감소를 보이며, CA 제안 사항은 변화가 없다.
• 만료된 시점에서, CA, CV, FG 제안 사항은 모두 복잡도 성장률 $2E/(π\hbar)$ 를 도출하여 라울드 경계에 도달한다.
• 푸비니-슈테이 제안 사항은 만료된 시점에서 성장률이 0이 되어, 시간 진화가 이루어져도 복잡도 증가가 없다는 것을 나타낸다.
• FG 방법에서 최소 복잡도는 $\alpha_0(s,\vec{k}) = \alpha_-(s,\vec{k}) = 0$ 일 때 도달하며, 이 경우 문제는 $\mathcal{C} = \ell_0 \int \text{d}^{d-1}k \, |\gamma_+(\vec{k})|$ 로 단순화된다.
• CA 제안 사항은 시간이 지남에 따라 일정하게 유지되며, 이 모델에서 시간 진화에 대한 계산 비용이 없다는 것을 나타낸다.
• CV와 FG 방법 간의 구조적 유사성은 허모그래픽 부피 복잡도와 장 이론적 펄러 복잡도 사이에 잠재적인 더 깊은 대응 관계가 있음을 시사한다.