[논문 리뷰] Comparison of max-plus automata and joint spectral radius of tropical matrices

Laure Daviaud, P. Guillon외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 08.

Formal Methods in Verification인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 두 카운터 기계의 정지 문제에서의 축소를 통해 토픽스 반군 위의 유한 행렬 집합에 대한 연관 스펙트럴 반경과 궁극적 질량의 결정불가성을 입증한다. 비교 문제의 결정불가성은 모든 상태가 동시에 초기 및 종료 상태이거나 상태 수가 제한된 경우(최소 553개)에도 여전히 성립함을 보이며, 이는 토픽스 대수적 구조에서 핵심적인 행렬 및 오ート마타 성질의 계산 가능성에 대한 근본적인 한계를 드러낸다.

ABSTRACT

Weighted automata over the max-plus semiring S are closely related to finitely generated semigroups of matrices over S. In this paper, we use results in automata theory to study two quantities associated with sets of matrices: the joint spectral radius and the ultimate rank. We prove that these two quantities are not computable over the tropical semiring, i.e. there is no algorithm that takes as input a finite set of matrices M and provides as output the joint spectral radius (resp. the ultimate rank) of M. On the other hand, we prove that the joint spectral radius is nevertheless approximable and we exhibit restricted cases in which the joint spectral radius and the ultimate rank are computable. To reach this aim, we study the problem of comparing functions computed by weighted automata over the tropical semiring. This problem is known to be undecidable and we prove that it remains undecidable in some specific subclasses of automata.

연구 동기 및 목표

• 토핑스 반군 위의 유한 행렬 집합에 대한 연관 스펙트럴 반경과 궁극적 질량의 계산 가능성에 대해 조사한다.
• 모든 상태가 동시에 초기 및 종료 상태거나 상태 수가 제한된 경우와 같은 구조적 제약 조건 하에서도 최대-합 오ート마타의 비교 문제의 결정불가성이 유지되는지 규명한다.
• 오ート마타 이론적 결정불가성과 토픽스 대수에서의 행렬 이론적 불변량 간의 연결 고리를 설정한다.
• 토픽스 행렬 이론에서 스펙트럴 및 질량 관련 불변량의 근사 가능성과 결정 가능성의 한계를 탐색한다.
• 이전의 보편 디오판틴 방정식 기반 결과보다 더 날카로운 상태 수의 경계를 제공함으로써, 비교 문제의 결정불가성에 대한 더 엄밀한 한계를 제시한다.

제안 방법

• 최대-합 오ート마타 비교의 결정불가성을 입증하기 위해 두 카운터 기계의 정지 문제(U2CM)로의 축소.
• 상태 전이 및 카운터 값의 표현을 경로 가중치를 통해 시뮬레이션하는 {-1, 0, 1} 범위의 가중치를 가진 최대-합 오ート마타 구축.
• 최대-합 오ート마타의 표준 행렬 표현을 사용하여 오ート마타 함수를 토픽스 행렬의 이분모임과 연결.
• 정지 구성이 도달되었을 경우에만 출력이 -1이 되는 함수를 계산하는 오ート마타 설계.
• 오ート마타 이론의 결과를 적용하여 토픽스 반군 위에서의 연관 스펙트럴 반경과 궁극적 질량의 비계산 가능성 추론.
• 연관 스펙트럴 반경이 계산 가능성으로 열거 가능한 완전성(C.E.-complete)임을 증명함으로써, 이는 계산 불가능하지만 근사 가능함을 시사한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 토픽스 행렬 집합의 연관 스펙트럴 반경은 계산 가능한가?
• RQ2 유한 토픽스 행렬 집합의 궁극적 질량은 계산 가능한가?
• RQ3 모든 상태가 동시에 초기 및 종료 상태일 경우 최대-합 오ート마타의 비교 문제의 결정불가성이 유지되는가?
• RQ4 상태 수가 제한된 경우에도 최대-합 오ート마타의 비교 문제가 결정불가능한가?
• RQ5 최대-합 오르타마타에서 비교 문제가 여전히 결정불가능한 최소 상태 수는 얼마인가?

주요 결과

• 토핑스 반군 위의 유한 행렬 집합에 대한 연관 스펙트럴 반경과 궁극적 질량은 계산 불가능하다.
• 모든 상태가 동시에 초기 및 종료 상태일 경우에도 최대-합 오르타마타의 비교 문제의 결정불가성이 유지된다.
• 최대 553개의 상태를 가진 최대-합 오르타마타에 대해서도 비교 문제의 결정불가성이 유지된다.
• 연관 스펙트럴 반경은 계산 가능성으로 열거 가능한 완전성임을 증명하여, 이는 계산 불가능하지만 근사 가능함을 나타낸다.
• 가중치가 {-1, 0, 1}인 다항적으로 애매한 최대-합 오르타마타에 대해서도 결정불가성 결과가 성립한다.
• 이전의 보편 디오판틴 방정식 기반 접근보다 더 엄밀한 상태 수의 경계를 제공함으로써, 결정불가성에 대한 더 날카로운 한계를 확보한다.