[논문 리뷰] Comparison of MPS based real time evolution algorithms for Anderson Impurity Models

Daniel Bauernfeind, Markus Aichhorn외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 21.

Quantum and electron transport phenomena인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 매트릭스 곱 상태(MPS)-기반 실시간 진화 알고리즘인 TEBD와 TDVP를 앤더슨 불순성 모델에 적용하여, 별 구조와 윌슨 체인 구조로 표현된 열원( bath)에 대해 비교한다. 놀랍게도, 별 구조에서의 TEBD는 동일한 정확도에서 체인 구조에서의 TDVP보다 최대 5배 빠르며, 이는 DMFT 계산에서 불순성 해소에 가장 효율적인 방법임을 시사한다.

ABSTRACT

We perform a detailed comparison of two Matrix Product States (MPS) based time evolution algorithms for Anderson Impurity Models. To describe the bath, we use both the star-geometry as well as the commonly employed Wilson chain geometry. For each bath geometry, we use either the Time Dependent Variational Principle (TDVP) or the Time Evolving Block Decimation (TEBD) to perform the time evolution. To apply TEBD for the star-geometry, we use a specially adapted algorithm that can deal with the long-range coupling terms. Analyzing the major sources of errors, one expects them to be proportional to the system size for all algorithms. Surprisingly, we find errors independent of system size except for TEBD in chain geometry. Additionally, we show that the right combination of bath representation and time evolution algorithm is important. While TDVP in chain geometry is a very precise approach, TEBD in star geometry is much faster, such that for a given accuracy it is superior to TDVP in chain geometry. This makes the adapted version of TEBD in star geometry the most efficient method to solve impurity problems.

연구 동기 및 목표

• MPS 기반 실시간 진화 알고리즘인 TEBD와 TDVP의 정확도와 효율성을 앤더슨 불순성 모델을 통해 평가하기.
• 열원 기하구조(별 대비 체인)가 오차 스케일링과 계산 비용 측면에서 알고리즘 성능에 미치는 영향을 조사하기.
• DMFT 계산에서 고정밀도·저비용 불순성 해소 계산을 위한 최적의 시간 진화 알고리즘과 열원 표현 조합을 규명하기.
• 특히 오차가 시스템 크기에 따라 증가하는지 여부에 대한 모순되는 기대를 해소하기.

제안 방법

• 연구는 열원을 별 구조와 윌슨 체인 구조로 표현하며, 열원 매개변수는 혼합 함수에서 유도한다.
• 시간 진화에는 TEBD와 TDVP를 두 가지 열원 기하구조에 모두 적용하며, 별 구조의 장거리 결합을 처리하기 위해 스위프 게이트를 사용하는 특수하게 수정된 TEBD 알고리즘을 사용한다.
• 불순성의 그린 함수는 실시간 진화를 통해 t=15까지 계산하며, N=59 사이트에서 DMRG를 사용해 MPS 기저 상태를 초기화한다.
• 오차 분석은 TDVP 체인 구조(Δt=0.005, tw=10−13)와 TEBD 별 구조(Δt=0.005, tw=10−14)를 기준으로 한 참조 계산 결과와 비교하여 수행된다.
• 시간 간격(Δt)과 절단 무게(tw)를 체계적으로 변화시켜 오차와 계산 시간 간의 상충 관계를 정량화한다.
• Suzuki-Trotter 분해에 대한 해석적 오차 추정식을 두 기하구조 모두에 대해 유도하여 스케일링 행동을 이해한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 열원 기하구조가 MPS 기반 실시간 진화의 정확도와 계산 비용에 상당한 영향을 미치는가?
• RQ2 왜 별 구조에서의 TEBD는 시스템 크기에 관계없이 유리한 오차 스케일링을 보이며, 예상과는 다르게 시스템 크기에 따라 오차가 증가하지 않는가?
• RQ3 시간 진화 알고리즘과 열원 기하구조의 조합 중에서 DMFT 응용에 적합한 고정밀도·저비용 불순성 해소 계산을 달성할 수 있는 조합이 존재하는가?
• RQ4 각각의 별 구조와 체인 구조에서 TEBD와 TDVP의 오차는 시스템 크기에 따라 어떻게 스케일링되는가?
• RQ5 별 구조에서의 수정된 TEBD 알고리즘이 주어진 오차 허용 범위 내에서 표준 TDVP보다 효율성이 뛰어나게 되는가?

주요 결과

• 동일한 목표 오차에서 별 구조에서의 TEBD는 체인 구조에서의 TDVP보다 계산 시간이 최대 5배 적게 소요되어 가장 효율적인 방법이다.
• 오직 체인 구조에서의 TEBD만이 오차가 시스템 크기에 비례하는 경향을 보이며, 나머지 모든 조합—특히 별 구조에서의 TEBD—는 거의 시스템 크기에 의존하지 않는 오차를 보인다.
• 별 구조에서 TEBD의 유리한 오차 스케일링은 열원 상태가 이미 단일 입자 고유기저에 가까워서 발생하며, 주요 오차 기여를 억제하기 때문이다.
• 체인 구조에서의 TDVP는 주어진 매개변수 조건에서 가장 낮은 절대 오차를 제공하지만, 계산 시간이 상당히 증가하는 비용을 치르게 된다.
• 스위프 게이트를 사용하는 수정된 TEBD 알고리즘은 추가적인 계산 오버헤드 없이 별 구조에서의 효율적 시간 진화를 가능하게 한다.
• 혼합 함수를 정확히 표현하기 위해 큰 열원 크기를 요구하는 DMFT 응용에서는, 별 구조에서의 TEBD가 시스템 크기에 관계없이 오차가 안정된다는 점이 핵심적인 이점이다.