[논문 리뷰] Comparison of Multi-Parametric Programming, Mixed-Integer Programming, Gradient Descent Based, Hybrid Minimum Principle, and the Embedding Approach on Six Published Hybrid Optimal Control Examples

Richard Meyer, Miloš Žefran외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 03. 15.

Advanced Control Systems Optimization인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 6개의 하이브리드 최적 제어 문제에 대해 임bedding 방법을 다중 매개변수 프로그래밍, 정수형 혼합 프로그래밍(CPLEX), 경사 하강법, 하이브리드 최소 원리 방법과 비교한다. 임bedding 방법은 성능 지수 비용을 낮추고(자율적 스위치가 존재할 경우를 제외하고), 더 빠른 해답 시간과 더 나은 수렴성을 보이며, 모드 순서에 대한 가정을 피하고 조합적 복잡도 없이 비선형 시스템을 처리할 수 있음을 입증한다.

ABSTRACT

In recent years, the embedding approach for solving switched optimal control problems has been developed in a series of papers. However, the embedding approach, which advantageously converts the hybrid optimal control problem to a classical nonlinear optimization, has not been extensively compared to alternative solution approaches. The goal of this paper is thus to compare the embedding approach to multi-parametric programming, mixed-integer programming (e.g., CPLEX), and gradient-descent based methods in the context of five recently published examples: a spring-mass system, moving-target tracking for a mobile robot, two-tank filling, DC-DC boost converter, and skid-steered vehicle. A sixth example, an autonomous switched 11-region linear system, is used to compare a hybrid minimum principle method and traditional numerical programming. For a given performance index for each case, cost and solution times are presented. It is shown that there are numerical advantages of the embedding approach: lower performance index cost (except in some instances when autonomous switches are present), generally faster solution time, and convergence to a solution when other methods may fail. In addition, the embedding method requires no ad hoc assumptions (e.g., predetermined mode sequences) or specialized control models. Theoretical advantages of the embedding approach over the other methods are also described: guaranteed existence of a solution under mild conditions, convexity of the embedded hybrid optimization problem (under the customary conditions on the performance index), solvability with traditional techniques (e.g., sequential quadratic programming) avoiding the combinatorial complexity in the number of modes/discrete variables of mixed-integer programming, applicability to affine nonlinear systems, and no need to explicitly assign discrete/mode variables to autonomous switches.

연구 동기 및 목표

• 하이브리드 최적 제어 문제를 해결하는 데 있어 임bedding 방법의 성능을 기존 방법들과 비교 평가하는 것.
• 혼합정수형 프로그래밍 및 경사 기반 방법과 같은 대체 기법들과의 포괄적인 비교 부족 문제를 해결하는 것.
• 해결 품질, 속도, 강건성 측면에서 임bedding 방법의 수치적 및 이론적 우수성을 평가하는 것.
• 사전에 정의된 모드 순서나 이산 변수 할당이 필요 없이 애매한 비선형 시스템에 대한 임bedding 방법의 적용 가능성을 검토하는 것.
• 기본 예제와 복잡한 11영역 선형 시스템을 대상으로 방법을 검증하는 것

제안 방법

• 임bedding 방법은 이산 스위칭 변수의 연속적 완화를 통해 스위칭 최적 제어 문제를 고전적 비선형 최적화 문제로 재구성한다.
• 이 방법은 표준 비선형 프로그래밍 솔버(예: 순차적 목적 함수 프로그래밍)를 활용하여 이산 변수에서 발생하는 조합적 폭발 없이 통합 문제를 해결한다.
• 비교를 위해 연구는 동일한 6개의 기준 문제에 대해 다중매개변수 프로그래밍, 혼합정수형 프로그래밍(CPLEX 사용), 경사 하강 기반 방법, 하이브리드 최소 원리를 적용한다.
• 모든 방법과 예제에 대해 성능 지수 비용과 해답 시간을 사용하여 성능를 평가한다.
• 이입된 문제의 볼록성 및 온건한 조건 하에서 해의 존재 보장 등의 이론적 성질을 분석한다.
• 이 방법은 자율적 스위칭 시스템과 제어 스위칭 시스템 모두에 적용되며, 하이브리드 최소 원리를 테스트하기 위해 11영역 선형 시스템에 적용된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임bedding 방법은 하이브리드 최적 제어 문제에서 다중매개변수 프로그래밍, 혼합정수형 프로그래밍, 경사 하강 기반 방법과 비교해 성능 지수 비용과 계산 시간 측면에서 어떻게 다른가?
• RQ2 기타 방법이 실패할 경우에도 임bedding 방법이 수렴 신뢰성 측면에서 더 뛰어나게 성능을 발휘하는가?
• RQ3 MIP와 같은 조합적 방법과 비교해 임bedding 방법의 이론적 우수성(예: 볼록성, 보장된 해 존재성)은 무엇인가?
• RQ4 모드 전환이 제어 입력 없이 발생하는 자율적 스위치 상황에서는 임bedding 방법이 어떻게 처리하는가?
• RQ5 임bedding 방법은 사전에 정의된 모드 순서나 특수한 이산 모델이 필요 없이 애매한 비선형 시스템을 해결할 수 있는가?

주요 결과

• 임bedding 방법은 자율적 스위치가 존재할 경우를 제외하고 대부분의 경우 다른 방법보다 낮은 성능 지수 비용을 달성한다.
• 임bedding 방법의 해답 시간은 혼합정수형 프로그래밍 및 경사 하강 기반 접근법보다 일반적으로 빠르다.
• 기타 방법이 실패하는 경우에도 임bedding 방법은 해에 수렴하여 뛰어난 강건성을 입증한다.
• 이 방법은 사전에 정의된 모드 순서나 이산 변수의 명시적 할당과 같은 특수한 가정이 필요 없다.
• 표준 성능 지수 조건 하에서 이입된 문제는 볼록성을 띤다. 이는 표준 비선형 프로그래밍 기법의 사용을 가능하게 한다.
• 임bedding 방법에 대해 고전적 최적화 방법을 통한 해 존재성 및 해법 가능성에 대한 이론적 보장을 확립하였다.