[논문 리뷰] Comparison of prismatic cohomology and derived de Rham cohomology

Shizhang Li, Tong Liu|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 28.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 10인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 $p$-진 형식 스킴 위의 프라스틱 코homology와 유도된 de Rham 코homology 사이의 비교 이somorphism을 수립하며, 프로페르티 조건과 필터링을 유지한다. 이를 통해 $\mathcal{O}_K$ 위의 매끄럽고 완비된 형식 스킴에 대한 토르션 크리스탈린 코homology가 $\mathbb{Z}_p(i)$에 의해 휠린 에탈 코homology와 이somorphic하다는 것을 보이며, 이는 $ei < p-1$ 조건 하에서 이전의 Breuil–Caruso 결과를 개선한다. 이 결과는 Fontaine–Laffaille 및 Caruso의 정리들을 더 넓은 범위의 스킴와 코homology 이론으로 확장한다.

ABSTRACT

We establish a comparison isomorphism between prismatic cohomology and derived de Rham cohomology respecting various structures, such as their Frobenius actions and filtrations. As an application, when $X$ is a proper smooth formal scheme over $\mathcal O_K$ with $K$ being a $p$-adic field, we improve Breuil--Caruso's theory on comparison between torsion crystalline cohomology and torsion étale cohomology.

연구 동기 및 목표

• 형식 스킴 $\mathcal{O}_K$ 위의 완비 매끄러운 형식 스킴에 대해 프라스틱 코homology와 유도된 de Rham 코homology 사이의 비교 이somorphism을 수립하는 것.
• 반세미스태이블 경우를 초월하여, $\mathcal{O}_K$ 위의 매끄럽고 완비된 형식 스킴에 대해 토르션 크리스탈린 코homology와 토르션 에탈 코hom로의 비교를 확장하는 것.
• 조건 $ei < p-1$ 하에서, 크리스탈린 코hom로의 $T_{\operatorname{st},\star}$ 함자에서 $G_K$-작용이 있는 에탈 코hom로를 복구할 수 있음을 보이는 것.
• 유도된 de Rham 및 프라스틱 체계를 통해 필터링, 프로페르티, 모노드로미의 역할을 코hom로구조에서 명확히 하는 것.

제안 방법

• 교차하는 프라스틱과 유도된 de Rham 복합체를 이용하여 프라스틱 코homology와 유도된 de Rham 코homology 사이의 비교 이somorphism을 구성하는 것.
• 유도된 de Rham 복합체의 뉴가우드 필터링과 호지 필터링을 활용하여 두 코homology 이론의 필터링을 비교하는 것.
• $\mathfrak{S}$-대수의 프라스틱 구조를 통해 유도된 de Rham 복합체와 프라스틱 코homology 사이의 프로페르티--equivariant 맵을 정의하는 것.
• 유도된 de Rham 복합체의 연결성을 이용하여 모노드로미 연산자를 올리고, 이를 크리스탈린 연결과 연결하는 것.
• 일반화된 키신 모듈과 토르션 브루아 모듈 이론을 활용하여 코homology와 갈로와 표현을 연결하는 것.
• $\beta$-작용을 통한 $\widehat{A}_{\operatorname{st}}$-모듈에서의 명시적 계산을 통해 비교 이somorphism이 $G_K$-작용과 호환됨을 확립하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 프라스틱 코homology와 유도된 de Rham 코homology는 프로페르티 작용과 필터링 구조 측면에서 어떻게 비교되는가?
• RQ2 반세미스태이블 경우를 초월하여, $\mathcal{O}_K$ 위의 매끄럽고 완비된 형식 스킴에 대해 크리스탈린 코homology와 에탈 코hom로의 비교를 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ3 크리스탈린 코homology의 $T_{\operatorname{st},\star}$ 함자와 기하적 일반점의 에탈 코hom로 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ4 유도된 de Rham 복합체의 필터링(Hodge 및 뉴가우드)은 $H^i_{\operatorname{crys}}(X_n/S_n)$의 크리스탈린 필터링과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 토르션 크리스탈린 코hom로의 $G_K$-작용이 비교 이somorphism을 통해 유도된 de Rham 복합체의 $G_K$-작용과 호환되는가?

주요 결과

• 프로페르티 작용과 필터링을 유지하는 자연스러운 비교 이somorphism이 프라스틱 코homology와 유도된 de Rham 코homology 사이에 수립된다.
• 이 이somorphism은 크리스탈린 코hom로의 $T_{\operatorname{st},\star}$-함자와 $\mathbb{Z}_p[G_K]$-모듈로서의 $H^i_{\text{ét}}(X_{\overline{\eta}}, \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})(i)$ 사이의 자연스러운 동치를 유도한다.
• $ei < p-1$ 조건은 모든 $n$에 대해 이 이somorphism이 성립함을 보장하며, 이는 Caruso의 결과가 $n$에 의존했던 것에 비해 개선된 것이다.
• 유도된 de Rham 코hom로의 필터링(Hodge 및 뉴가우드)이 $H^i_{\operatorname{crys}}(X_n/S_n)$의 크리스탈린 필터링과 브루아-키신 필터링에 대응됨을 보였다.
• $\alpha: \mathcal{M} \to \mathcal{M}^\nabla$ 는 필터링과 프로페르티와 호환되는 $S$-모듈의 이somorphism이며, 이는 $T_S(\mathcal{M}) \simeq T_{\operatorname{st},\star}(\mathcal{M})$ 를 증명한다.
• $\widehat{A}_{\operatorname{st}}$의 $\beta$-작용을 통한 $T_S(\mathcal{M})$의 $G_K$-작용이 표준적인 $G_K$-작용 $T_{\operatorname{st},\star}(\mathcal{M})$와 일치함을 확인하여 호환성을 확인한다.