[논문 리뷰] Comparison of Spearman's rho and Kendall's tau in Normal and Contaminated Normal Models

Weichao Xu, Yunhe Hou외 2명|arXiv (Cornell University)|2010. 11. 09.

Statistical Distribution Estimation and Applications참고 문헌 40인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 이변량 정규분포 및 오염된 정규모형 하에서 스피어만의 rho의 분산과 스피어만의 rho 및 켄달의 타우 간 공분산에 대한 정확한 해석적 표현을 제공한다. 두 순서상관계수 간의 편향, 분산, 평균제곱오차, 점근상 상대효율성에 있어 뚜렷한 차이가 있음을 밝혀내며, 일반적으로 그 상호 교환 가능성을 가정하는 것에 도전하고, 피어슨의 상관계수를 비정규성 또는 이방성 외포값으로 인해 적용할 수 없을 경우에 그들 사이에서 선택하는 데 도움을 주는 지침을 제공한다.

ABSTRACT

This paper analyzes the performances of the Spearman's rho (SR) and Kendall's tau (KT) with respect to samples drawn from bivariate normal and bivariate contaminated normal populations. The exact analytical formulae of the variance of SR and the covariance between SR and KT are obtained based on the Childs's reduction formula for the quadrivariate normal positive orthant probabilities. Close form expressions with respect to the expectations of SR and KT are established under the bivariate contaminated normal models. The bias, mean square error (MSE) and asymptotic relative efficiency (ARE) of the three estimators based on SR and KT to the Pearson's product moment correlation coefficient (PPMCC) are investigated in both the normal and contaminated normal models. Theoretical and simulation results suggest that, contrary to the opinion of equivalence between SR and KT in some literature, the behaviors of SR and KT are strikingly different in the aspects of bias effect, variance, mean square error, and asymptotic relative efficiency. The new findings revealed in this work provide not only deeper insights into the two most widely used rank based correlation coefficients, but also a guidance for choosing which one to use under the circumstances where the PPMCC fails to apply.

연구 동기 및 목표

• 이변량 정규분포 및 오염된 정규분포 하에서 스피어만의 rho(SR)와 켄달의 타우(KT)의 통계적 성질을 체계적으로 비교하기 위해.
• 비모수적 상관계수 추정에서 SR과 KT의 동치성에 관해 문헌에서 발생하는 모순을 해결하기 위해.
• SR의 분산 및 SR과 KT 간 공분산에 대한 정확한 해석적 표현을 유도하여 기존의 근사치를 향상시키기 위해.
• 정규분포 및 오염된 정규분포 모형 모두에서 피어슨의 적률상관계수(Pearson’s product moment correlation coefficient, PPMCC)에 비해 SR 및 KT 기반 추정량의 편향, 평균제곱오차(MSE), 점근상 상대효율성(ARE)을 평가하기 위해.
• 순서형 자료, 단조성 비선형성 또는 임펄스적 외포값으로 인해 피어슨의 상관계수가 적용되지 않을 경우 SR과 KT 사이에서 선택하는 데 실용적인 지침을 제공하기 위해.

제안 방법

• Childs의 사변량 정규분포 제1사분면 확률에 대한 감소공식을 사용하여 스피어만의 rho의 정확한 해석적 공식 유도.
• 스피어만의 rho와 켄달의 타우 간 공분산을 해석적으로 유도하며, 이전 문헌에서 보고된 경미한 오류를 수정.
• 이변량 오염된 정규모형 하에서 SR 및 KT의 기대값에 대한 닫힌 형태의 표현식 수립하며, 외포값 비율 및 상관계수 파라미터를 포함.
• Sheppard의 정리를 사용하여 순서통계량 기대값을 상관계수의 역사인함수 변환으로 표현.
• 큰 표본 크기에서의 점근적 분석을 통해 SR 및 KT 추정량의 편향, 분산, MSE 및 점근상 상대효율성(ARE)의 표현식 유도.
• 특히 다양한 외포값 수준을 가진 오염된 정규모형 하에서 이론적 결과의 시뮬레이션 기반 검증.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이변량 정규분포 하에서 스피어만의 rho와 켄달의 타우의 편향, 분산, 평균제곱오차 및 점근상 상대효율성은 어떻게 비교되는가?
• RQ2 이변량 정규모형에서 스피어만의 rho의 분산 및 스피어만의 rho와 켄달의 타우 간 공분산에 대한 정확한 해석적 표현은 무엇인가?
• RQ3 이변량 오염된 정규모형 하에서 스피어만의 rho와 켄달의 타우의 기대값은 어떻게 행동하는가? 특히 외포값 오염이 증가함에 따라 어떻게 변화하는가?
• RQ4 정규분포 및 오염된 정규분포 설정 모두에서 SR 및 KT 기반 추정량의 점근상 상대효율성(ARE)은 피어슨의 적률상관계수에 비해 어떻게 되는가?
• RQ5 이론적 결과가 비모수적 상관계수 분석에서 스피어만의 rho와 켄달의 타우가 동치라는 널리 퍼진 믿음을 어느 정도 도전하는가?

주요 결과

• Childs의 감소공식을 사용하여 스피어만의 rho의 분산을 정확한 닫힌 형태로 유도하였으며, 이는 10자리 소수까지 정밀한 표(표 I)를 작성할 수 있게 하여 이전의 급수 근사치를 뛰어넘는다.
• 스피어만의 rho와 켄달의 타우 간 공분산이 해석적으로 유도되었으며, 이는 이전 문헌에서 보고된 경미한 오류를 수정한 것이다.
• 오염된 정규모형 하에서 스피어만의 rho 및 켄달의 타우의 기대값이 닫힌 형태로 표현되었으며, 이는 외포값 비율 ε 및 오염된 성분의 상관계수에 의존함을 보여준다.
• 이론적 및 시뮬레이션 결과는 스피어만의 rho와 켄달의 타우가 편향, 분산, 평균제곱오차 및 점근상 상대효율성 측면에서 상당히 다른 행동을 보임을 시사하며, 이는 상호 동치라는 가정과 모순된다.
• KT 대비 SR의 점근상 상대효율성(ARE)은 많은 시나리오에서 1을 초월하며, 이는 정규분포 및 오염된 정규분포 모형 모두에서 KT가 SR보다 더 효율적임을 나타낸다.
• 이러한 결과는 순서형 자료, 비선형성 또는 외포값에 의한 오염으로 인해 피어슨의 상관계수가 적용되지 않을 경우 실용적 응용에서 SR과 KT 사이에서 선택하는 데 체계적인 근거를 제공한다.