[논문 리뷰] Comparison of Sums of independent Identically Distributed Random Variables

Stephen Montgomery-Smith|ArXiv.org|1993. 10. 07.

Bayesian Modeling and Causal Inference인용 수 28

한 줄 요약

이 논문은 i.i.d. 바나흐 공간 값의 랜덤 변수에 대해, 모든 $ 1 \leq j \leq k $ 에 대해 $ \Pr(\|S_j\| > t) $ 의 尾확률이 $ c_1 \Pr(\|S_k\| > t/c_2) $ 로 유계화되는 유일한 상수 $ c_1 = 3 $, $ c_2 = 10 $ 를 설정한다. 이는 두 개의 i.i.d. 변수에 대해 알려진 부등식을 일반화한 것이다. 증명은 바나흐 공간 내의 $ t $-농도점과 기하학적 추론을 사용하여 최대 부등식과 가중합으로의 확장 결과를 도출한다.

ABSTRACT

Let S_k be the k-th partial sum of Banach space valued independent identically distributed random variables. In this paper, we compare the tail distribution of ||S_k|| with that of ||S_j||, and deduce some tail distribution maximal inequalities. Theorem: There is universal constant c such that for j < k Pr(||S_j|| > t) <= c Pr(||S_k|| > t/c).

연구 동기 및 목표

• 두 개의 i.i.d. 랜덤 변수에 대해 알려진 부등식을 바나흐 공간 내의 임의의 수의 i.i.d. 랜덤 변수 합으로 일반화하기.
• 모든 $ 1 \leq j \leq k $ 에 대해 $ \Pr(\|S_j\| > t) \leq c_1 \Pr(\|S_k\| > t/c_2) $ 를 만족하는 유일한 상수 $ c_1 $, $ c_2 $ 를 설정하기.
• 주요 결과를 사용하여 부분합의 Supremum에 대한 최대 부등식 유도하기.
• 계수 $ \alpha_i \in [-1,1] $ 를 가진 가중합으로 이러한 유 bounds 가 확장되는지 조사하고, 수정된 상수를 사용해 확장 가능함을 보여주기.

제안 방법

• 랜덤 변수 $ X $ 에 대해 $ \Pr(\|X - x\| \leq t) > 2/3 $ 를 만족하는 점 $ x $ 를 $ t $-농도점으로 정의한다.
• 만일 $ x, y, z $ 가 각각 $ X, Y, X+Y $ 에 대해 $ t $-농도점이라면, 유니온 바운드와 삼각 부등식을 사용해 $ \|x + y - z\| \leq 3t $ 를 증명한다.
• 귀납법과 $ t $-농도점의 구조를 사용하여 부분합 농도점 $ s_j $ 에 대해 $ \|k s_j - j s_k\| \leq 3(k+j)t $ 를 도출한다.
• 부분합 $ S_{k-j} $ 의 꼬리 행동에 따라 세 가지 경우를 분석하고, 독립성과 농도를 이용해 $ \Pr(\|S_j\| > t) $ 를 $ \Pr(\|S_k\| > t/c_2) $ 로 유계화한다.
• 주요 부등식을 적용하여 $ \sup_{1 \leq j \leq k} \|S_j\| $ 에 대한 최대 부등식을 유도하며, [K–W]의 합의 Supremum에 관한 결과를 활용한다.
• 계수를 분해하고 주요 부등식 및 최대 부등식을 적용하여 $ |\alpha_i| \leq 1 $ 인 가중합 $ \sum \alpha_i X_i $ 로 결과를 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 i.i.d. 실수 값의 랜덤 변수에 대해 $ \Pr(\|X_1\| > t) \leq 5 \Pr(\|X_1 + X_2\| > t/2) $ 라는 부등식이 바나흐 공간 내에서 $ k \geq 3 $ 개의 i.i.d. 랜덤 변수 합으로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 모든 $ 1 \leq j \leq k $ 와 i.i.d. 바나흐 공간 값의 랜덤 변수에 대해 $ \Pr(\|S_j\| > t) \leq c_1 \Pr(\|S_k\| > t/c_2) $ 를 만족하는 유일한 상수 $ c_1 $, $ c_2 $ 는 무엇인가?
• RQ3 계수 $ |\alpha_i| \leq 1 $ 인 가중합 $ \sum \alpha_i X_i $ 로 이러한 꼬리 비교 부등식을 확장할 수 있는가?
• RQ4 계수 $ \alpha_i $ 가 모두 동일하지 않을 경우에도 $ \Pr(\|S_j\| > t) \leq c \Pr(\|S_k\| > t/c) $ 와 같은 부등식이 성립할 수 있는가?
• RQ5 이러한 부등식의 한계는 무엇이며, 渐近적으로 개선될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 모든 $ 1 \leq j \leq k $ 에 대해 $ \Pr(\|S_j\| > t) \leq 3 \Pr(\|S_k\| > t/10) $ 를 증명하며, i.i.d. 바나흐 공간 값의 랜덤 변수에 대해 유일한 상수 $ c_1 = 3 $, $ c_2 = 10 $ 를 제공한다.
• 예를 들어 $ X_1 = 1 $ 이 작은 확률로 발생하고 나머지 경우 0인 경우를 고려하면, $ c_2 > 1 $ 이 항상 성립하므로 이러한 부등식은 渐近적으로 개선될 수 없다.
• 라타라가 이후 상수를 $ c_1 = 4, c_2 = 5 $ 또는 $ c_1 = 2, c_2 = 7 $ 으로 개선하였으며, $ j=1, k=2 $ 인 경우 $ \Pr(\|X_1\| > t) \leq 2 \Pr(\|X_1 + X_2\| > 2t/3) $ 를 도출하였고, 이는 최적임을 보였다.
• 최대 부등식이 도출되었으며, $ \Pr(\sup_{1 \leq j \leq k} \|S_j\| > t) \leq c \Pr(\|S_k\| > t/c) $ 이며, $ c = 4 $ 또는 $ c = 6 $, 또는 $ c = 2 $ 또는 $ c = 8 $ 으로, 경우에 따라 다르게 설정된다.
• 계수 $ |\alpha_i| \leq 1 $ 인 가중합에 대해 $ \Pr(\|\sum \alpha_i X_i\| > t) \leq c \Pr(\|\sum X_i\| > t/c) $ 가 유일한 상수 $ c $ 를 사용해 성립하며, 계수 분해와 주요 결과를 통해 증명된다.
• 논문은 일반적인 계수 $ \alpha_i $ 로의 확장을 보여주지 못하며, $ \alpha_i = 1/M^{1/3} $ 인 반례를 통해 비균일한 가중치에서는 실패함을 보였다.