[논문 리뷰] Comparison of the methods for discrete approximation of the fractional-order operator

Ľ. Dorčák, Ivo Petráš외 2명|ArXiv.org|2003. 06. 01.

Advanced Control Systems Design참고 문헌 13인용 수 29

한 줄 요약

이 논문은 분수계수 미분자에 대한 이산 근사 방법을 비교하며, 거듭제곱 급수 전개(PSE), 투스틴 및 알-알라우이 이동 연산자를 사용한 연속 분수 전개(CFE), 그리고 무어 전개를 평가한다. 보드 도표와 시간 도메인 시뮬레이션을 통해 CFE는 PSE보다 뛰어난 정확도를 보이며, 특히 작은 시간 간격에서 안정성과 정밀도의 제약으로 인해 무어 전개 방법은 거의 효과가 없음을 확인한다.

ABSTRACT

In this paper we will present some alternative types of discretization methods (discrete approximation) for the fractional-order (FO) differentiator and their application to the FO dynamical system described by the FO differential equation (FDE). With analytical solution and numerical solution by power series expansion (PSE) method are compared two effective methods - the Muir expansion of the Tustin operator and continued fraction expansion method (CFE) with the Tustin operator and the Al-Alaoui operator. Except detailed mathematical description presented are also simulation results. From the Bode plots of the FO differentiator and FDE and from the solution in the time domain we can see, that the CFE is a more effective method according to the PSE method, but there are some restrictions for the choice of the time step. The Muir expansion is almost unusable.

연구 동기 및 목표

• 분수계수 미분자 및 동적 시스템에 대한 이산 근사 기법을 평가하고 비교하는 것.
• 다양한 수치적 방법이 분수계수 미분자 연산자를 근사할 때의 정확도와 안정성을 분석하는 것.
• 시간 도메인과 주파수 도메인에서 분수계수 미분방정식(FDE)을 시뮬레이션하는 데 가장 효과적인 방법을 규명하는 것.
• 시간 간격 선택이 CFE 및 PSE와 같은 방법의 성능에 미치는 영향을 평가하는 것, 특히 그 영향을 분석하는 것.
• 각 방법의 실용적 제약 사항과 제어 시스템 설계 및 시뮬레이션에서의 적용 가능성을 규명하는 것.

제안 방법

• 분수계수 미분자를 근사하기 위한 기준 해석적 해로 거듭제곱 급수 전개(PSE) 방법을 사용한다.
• 연속 분수 전개(CFE) 방법을 투스틴 및 알-알라우이 이동 연산자에 적용하여 분수계수 미분자의 이산 근사를 유도한다.
• 무어 전개 방법을 사용하여 투스틴 연산자의 급수 전개를 통해 분수계수 미분자를 근사한다.
• 주파수 도메인 분석을 위해 보드 도표를 사용하여 근사된 연산자의 크기 및 위상 응답을 비교한다.
• 각 방법을 사용하여 분수계수 미분방정식(FDE)의 수치적 해를 비교하기 위해 시간 도메인 시뮬레이션을 수행한다.
• 정확도, 안정성, 시간 간격 크기에 대한 민감도를 기반으로 각 방법의 성능을 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 CFE, PSE, 무어 전개 방법은 주파수 도메인에서 분수계수 미분자를 어떻게 근사하는가? 상호 비교 결과는?
• RQ2 시간 간격 크기가 분수계수 시스템의 이산 근사 정확도와 안정성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 주어진 분수계수 미분방정식에 대해 어느 방법이 가장 정확한 시간 도메인 해를 제공하는가?
• RQ4 이론적으로는 타당한 무어 전개 방법이 왜 효과가 없게 되었는가?
• RQ5 CFE 방법이 PSE 방법보다 계산 효율성과 정확도 측면에서 어떤 시나리오에서 뛰어나게 성능을 발휘하는가?

주요 결과

• 투스틴 및 알-알라우이 이동 연산자를 사용한 연속 분수 전개(CFE) 방법은 거듭제곱 급수 전개(PSE) 방법보다 분수계수 미분자를 더 정확하게 근사한다.
• 보드 도표를 통해 이상적인 분수계수 미분자와의 주파수 도메인 일치도를 확인한 결과, CFE 방법은 더 나은 크기 및 위상 응답을 보이며, 이는 더 정확한 근사임을 입증한다.
• PSE 방법은 고주파수에서 특히 두드러진 위상 지연과 크기 이탈을 보이며, 정확한 시스템 모델링에 적합하지 않다.
• 무어 전개 방법은 근사 품질이 열 劣하고 안정성이 떨어져, 특히 시간 간격이 작을 경우 거의 사용할 수 없을 정도로 열 劣한 성능을 보였다.
• CFE 방법은 시간 간격을 신중히 선택해야 하며, 시간 간격이 너무 크거나 너무 작아지면 성능이 떨어지므로, 최적 범위가 매우 좁은 편이다.
• 시간 도메인 시뮬레이션 결과, CFE 방법은 해석적 기준값에 더 가까운 해를 생성함으로써 실질적인 FDE 시뮬레이션에서의 우월성을 검증하였다.