[논문 리뷰] Comparison of Wiener index and Zagreb eccentricity indices

Kexiang Xu, Kinkar Chandra Das외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 13.

Graph theory and applications참고 문헌 29인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 나무, 지름 2 그래프, 보편적으로 지름이 되는 그래프, 그리고 카르테시안 곱 그래프와 같은 다양한 그래프 클래스에서 위너 지수(W), 제1 제브레크-에크스큐르리티 지수(E₁), 제2 제브레크-에크스큐르리티 지수(E₂)를 비교한다. 나무의 경우, 지름이 작을 때는 W ≥ E₂이지만, 지름이 클 경우 W < E₁임을 규명한다. 카르테시안 곱 그래프의 경우, 평균 전송과 지름에 대한 특정 조건 하에서 W > E₁ 및 W > E₂임을 증명한다.

ABSTRACT

The first and the second Zagreb eccentricity index of a graph $G$ are defined as $E_1(G)=\sum_{v\in V(G)}\varepsilon_{G}(v)^{2}$ and $E_2(G)=\sum_{uv\in E(G)}\varepsilon_{G}(u)\varepsilon_{G}(v)$, respectively, where $\varepsilon_G(v)$ is the eccentricity of a vertex $v$. In this paper the invariants $E_1$, $E_2$, and the Wiener index are compared on graphs with diameter $2$, on trees, on a newly introduced class of universally diametrical graphs, and on Cartesian product graphs. In particular, if the diameter of a tree $T$ is not too big, then $W(T) \ge E_2(T)$ holds, and if the diameter of $T$ is large, then $W(T) &lt; E_1(T)$ holds.

연구 동기 및 목표

• 다양한 그래프 클래스에서 위너 지수(W), 제1 제브레크-에크스큐르리티 지수(E₁), 제2 제브레크-에크스큐르리티 지수(E₂)를 비교하는 것.
• 특히 지름이 다른 나무에서 W ≥ E₁ 또는 W ≥ E₂가 성립하는 조건을 규명하는 것.
• 모든 정점이 지름을 갖는 새로운 그래프 클래스인 보편적으로 지름이 되는 그래프를 도입하고 분석하는 것.
• 그래프의 카르테시안 곱 연산에 따른 W, E₁, E₂의 행동을 조사하는 것.
• 카르테시안 곱 그래프에서 W > E₁ 및 W > E₂가 성립하는 충분한 조건을 설정하는 것.

제안 방법

• E₁(G) = Σᵥ∈V(G) ε_G(v)² 및 E₂(G) = Σ_{uv∈E(G)} ε_G(u)ε_G(v)로 정의하며, 여기서 ε_G(v)는 정점 v의 에크스큐르리티이다.
• 위너 지수 W(G) = ½ Σᵥ∈V(G) Tr_G(v)로 정의하며, Tr_G(v)는 v의 전송이다.
• 지름 2 그래프를 분석하여, 자가중심 그래프에서는 E₂(G) ≥ E₁(G)임을 증명하며, 등호가 성립하는 것은 G ∈ {C₄, C₅}일 때에 한한다.
• 모든 정점이 지름에 도달하는 그래프를 보편적으로 지름이 되는 그래프로 정의한다.
• 기본 그래프에서 더 큰 그래프 계열로 결과를 확장하기 위해 경로를 정점에 연결하는 구조적 변환을 적용한다.
• 카르테시안 곱에서 위너 지수와 에크스큐르리티 지수에 대한 기존 공식을 활용한다: W(G□H) = n(H)²W(G) + n(G)²W(H), 및 E₁(G□H) = n(H)E₁(G) + n(G)E₁(H) + 2ε(G)ε(H).

실험 결과

연구 질문

• RQ1 나무에서 위너 지수가 제1 제브레크-에크스큐르리티 지수를 초월하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 지름 2 그래프에서 위너 지수와 제브레크-에크스큐르리티 지수는 어떻게 비교되는가?
• RQ3 어떤 그래프의 구조적 특성이 W(G) ≥ E₁(G) 또는 W(G) ≥ E₂(G)를 보장하는가?
• RQ4 W ≥ E₁ 또는 W ≥ E₂ 부등식은 카르테시안 곱 연산 하에서도 유지되는가?
• RQ5 평균 전송은 제품 그래프에서 위너 지수가 에크스큐르리티 지수를 우세하게 하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 작은 지름을 가진 나무의 경우, 위너 지수는 W(T) ≥ E₂(T)를 만족하며, 큰 지름을 가진 나무의 경우 W(T) < E₁(T)이다.
• 지름 2의 자가중심 그래프에서는 E₂(G) ≥ E₁(G)이며, 등호가 성립하는 것은 G가 C₄ 또는 C₅일 때에 한한다.
• 보편적으로 지름이 되는 그래프의 경우, 기저 그래프에서 W(G) < E₁(G)가 성립하면 모든 정점에 경로를 연결하는 것이 이 부등식을 유지한다.
• G와 H가 연결 그래프이며, W(G) ≥ E₁(G), W(H) ≥ E₁(H), 그리고 max{n(G), n(H)} > 2를 만족하면, W(G□H) > E₁(G□H)이다.
• avt(G) > 4d_G²d_H 및 avt(H) > 4d_H²d_G 조건이 성립할 경우, W(G□H) > E₂(G□H)이다.
• 결과는 위너 지수가 그래프의 지름과 구조적 특성에 따라 E₁ 또는 E₂를 우세하게 할 수 있으며, 나무에서는 명확한 임계값이 존재함을 보여준다.