[논문 리뷰] Competing risks within shock models

Antonio Di Crescenzo, Maria Longobardi|ArXiv.org|2008. 09. 01.

Probability and Risk Models참고 문헌 30인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 이변량 포아송 샤크 모델 내에서 상호 배타적인 두 종류의 샤크 유형 중 하나에 의해 발생하는 시스템 고장에 대한 경쟁 위험 프레임워크를 제안한다. 세 가지 기준에 따라 정확한 고장 밀도, 생존 함수 및 조건부 고장 모멘트의 표현식을 유도한다: 샤크가 무작위 임계값 M에 도달할 때의 합, 최소값 또는 최대값. 주요 결과로는 합 기준에서 고장 시점과 원인이 서로 확률적으로 독립임을 보여주며, 수정된 베ssel 함수와 누적 포아송 분포를 포함한 명시적 공식이 도출된다.

ABSTRACT

We consider a competing risks model, in which system failures are due to one out of two mutually exclusive causes, formulated within the framework of shock models driven by bivariate Poisson process. We obtain the failure densities and the survival functions as well as other related quantities under three different schemes. Namely, system failures are assumed to occur at the first instant in which a random constant threshold is reached by (a) the sum of received shocks, (b) the minimum of shocks, (c) the maximum of shocks.

연구 동기 및 목표

• 두 상호 배타적인 샤크 유형 중 하나에 의해 발생하는 고장을 모델링하여 충격 모델에 경쟁 위험을 통합한다.
• 세 가지 별개의 임계값 기준, 즉 샤크 수의 합, 최소값, 최대값에 따른 고장 메커니즘을 분석한다.
• 고장 원인이 특정한 경우에 대한 고장 밀도, 생존 함수 및 조건부 고장 모멘트의 정확한 표현식을 도출한다.
• 특히 합 기준에서 고장 시점과 고장 원인 간의 확률적 의존성 구조를 탐구하며, 이 경우 이들이 독립임을 입증한다.
• 공유되는 구성 요소를 가진 이변량 포아송 과정을 사용하여 비배타적인 샤크 유형으로 모델을 확장한다.

제안 방법

• 강도 $\lambda_1$ 및 $\lambda_2$를 가진 두 개의 독립적인 정상 포아송 과정 $N_1(t)$ 및 $N_2(t)$를 사용하여 샤크를 모델링한다.
• 무작위 임계값 $M$이 $\{1,2,\dots\}$의 값을 가지며, 샤크 수의 합, 최소값 또는 최대값에 기반한 고장 집합 $S_k$를 정의한다.
• 위험률 분해와 재귀적 표현식을 사용하여 각 샤크 유형에 의한 고장에 대한 부분 밀도 $f_1(t)$ 및 $f_2(t)$를 유도한다.
• 보조 함수 $E_k(x) = \sum_{j=0}^{k-1} \frac{x^j}{j!}$ 와 수정된 베셀 함수 $I_j(\cdot)$를 사용하여 생존 및 밀도 함수를 표현한다.
• 고장 집합에 대한 합산을 통해 생존 함수 $\overline{F}_T(t)$를 유도하며, 임계값 $M$의 여부 누적 분포 $\overline{P}_k$를 사용한다.
• 공유되는 샤크를 가진 이변량 포아송 과정을 사용하여 비배타적 샤크 유형으로 모델을 확장한다: $\lambda_1$, $\lambda_2$, $\lambda_3$가 각각 공유되지 않은 샤크를 위한 구성 요소로 포함된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경쟁 위험이 있는 충격 모델에서 고장 시점 $T$가 고장 원인 $\delta$와 확률적으로 독립이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 고장이 샤크 수의 합이 무작위 임계값 $M$에 도달할 때 발생할 경우, 고장 밀도 및 생존 함수는 어떻게 행동하는가?
• RQ3 고장이 두 샤크 수의 최소값 또는 최대값에 도달할 때 발생할 경우, 고장 부분 밀도 및 생존 함수의 정확한 수학적 표현식은 무엇인가?
• RQ4 이변량 포아송 프레임워크에서 임계값이 샤크 수의 합, 최소값 또는 최대값에 기반할 경우, 고장 메커니즘은 어떻게 다를까?
• RQ5 모델을 비배타적인 샤크 유형으로 확장할 수 있으며, 이 경우 고장 집합과 위험률 구조는 어떻게 변화하는가?

주요 결과

• 합 기준에서 고장 시점 $T$와 고장 원인 $\delta$는 확률적으로 독립이며, 이는 위험률 및 부분 밀도의 구조에서 유도된 비직관적인 결과이다.
• 합 기준의 생존 함수는 $\overline{F}_T(t) = e^{-(\lambda_1+\lambda_2)t} \sum_{k=0}^{\infty} \overline{P}_k \left( \frac{(\lambda_1 t)^k}{k!} + \frac{(\lambda_2 t)^k}{k!} \right)$ 로 주어지며, 포아송 유형의 항들의 직접적 합임을 보여준다.
• 최소 기준에서의 고장 부분 밀도는 $f_1(t) = \lambda_1 e^{-(\lambda_1+\lambda_2)t} \sum_{k=1}^{\infty} p_k \frac{(\lambda_1 t)^{k-1}}{(k-1)!} E_k(\lambda_2 t)$ 로 주어지며, 누적 포아송 함수 $E_k(x)$ 가 포함되어 있다.
• 최대 기준에서의 생존 함수는 $\overline{F}_T(t) = e^{-(\lambda_1+\lambda_2)t} \sum_{k=0}^{\infty} \overline{P}_k \left( \frac{(\lambda_2 t)^k}{k!} E_k(\lambda_1 t) + \frac{(\lambda_1 t)^k}{k!} E_{k+1}(\lambda_2 t) \right)$ 로 주어지며, $E_k(x)$ 는 이전에 정의한 바와 같다.
• 최소 및 최대 기준에서 부분 밀도의 합은 $\lambda_i e^{-\lambda_i t} \sum_{k=1}^{\infty} p_k \frac{(\lambda_i t)^{k-1}}{(k-1)!}$ 로 줄어들며, 이는 구조적 유사성을 강조한다.
• h개의 샤크 유형이 있는 합 기준에서 생존 함수에 대한 근사식이 제시되어 있으며, 이는 이변량 경우를 고차원으로 일반화한다.