[논문 리뷰] Compiling basic linear algebra subroutines for quantum computers

Liming Zhao, Zhikuan Zhao외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 27.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 2인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 행렬 덧셈, 곱셈, 텐서 곱, 행렬 함수 등 기본 선형 대수 하위루틴을 양자 게이트 시퀀스로 컴파일하는 데 사용할 수 있는 Quantum Matrix Algebra Toolbox (QMAT)를 소개한다. 위상 추정과 샘플링을 통해 추적, 행렬식, 슈atten p-노름과 같은 스칼라 출력을 효율적으로 추정할 수 있으며, 유한한 특이값을 가정할 경우 행렬 크기와 무관한 오차 한계를 확보한다.

ABSTRACT

Efficiently processing basic linear algebra subroutines is of great importance for a wide range of computational problems. In this paper, we consider techniques to implement matrix functions on a quantum computer, which are composed of basic matrix operations on a set of matrices. These matrix operations include addition, multiplication, Kronecker sum, tensor product, Hadamard product, and single-matrix functions. We discuss the composed matrix functions in terms of the estimation of scalar quantities such as inner products, trace, determinant and Schatten p-norms. We thus provide a framework for compiling instructions for linear algebraic computations into gate sequences on actual quantum computers.

연구 동기 및 목표

• 양자 컴퓨터에서 기본 행렬 연산을 위한 조합 가능한, 양자 컴파일된 프레임워크를 개발하기 위해.
• 완전한 상태 재구성 없이도 스칼라 행렬 함수—예를 들어 추적, 행렬식, 슈atten p-노름—을 효율적으로 추정할 수 있도록 하기 위해.
• 통합 헤르미트 행렬을 사용하여 고수준의 행렬 함수 명세에서 실행 가능한 양자 게이트 시퀀스로의 컴파일 파이프라인을 제공하기 위해.
• 유한한 특이값을 가정할 경우 스칼라 추정의 오차 한계가 행렬 차원에 따라 영향을 받지 않도록 보장하기 위해.
• 행렬 임bedding에 대한 유니터리 액세스를 활용하여 BQP-완전 계산을 지원하기 위해.

제안 방법

• 3×3 포텐셜 행렬 R₁, R₂, R₃를 기반으로 한 세 가지 별도의 임베딩 연산자 X₁(A), X₂(A), X₃(A)를 사용하여 비헤르미트 행렬을 헤르미트 형태로 임베딩하기 위해.
• 임베디드 헤르미트 행렬에 대한 하밀토니안 시뮬레이션 기법을 적용하여 덧셈, 곱셈, 크로네cker 합, 텐서 곱, 하드아머드 곱과 같은 기본 행렬 연산을 구현하기 위해.
• 임베디드 행렬의 고유값에 위상 추정을 적용하여 추적, 행렬식, 슈atten p-노름과 같은 스칼라 양을 추정하기 위해.
• T번의 반복을 포함한 몬테카를로 샘플링을 사용하여 슈atten 노름의 p제곱을 추정하고, 체비세프 부등식을 통해 오차를 제한하기 위해.
• 리프시츠 연속성과 젠센의 부등식을 사용하여 오차 한계를 수립하여 상대 오차가 ε와 σ-추정 오차 εσ에만 의존하고, 행렬 차원 N에는 영향을 받지 않음을 보여주기 위해.
• 주어진 신뢰 수준 a에 대해 표본 복잡도 T ≈ C(1 + εσ²)/(ε²a)를 유도하며, a = 0.01일 경우 99%의 신뢰 수준을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복소수 행렬에 대한 기본 선형 대수 연산은 실제 양자 하드웨어에서 어떻게 양자 게이트 시퀀스로 컴파일될 수 있는가?
• RQ2 위상 추정과 샘플링을 사용하여 추적, 행렬식, 슈atten p-노름과 같은 스칼라 행렬 함수를 추정할 때 얻을 수 있는 오차 한계는 무엇인가?
• RQ3 특이값에 합리적인 가정을 할 경우, 이러한 스칼라 양의 추정 오차를 행렬 차원 N과 무관하게 만들 수 있는가?
• RQ4 위상 추정 단계에서 원하는 정밀도와 오차 허용 범위에 따라 표본 복잡도는 어떻게 스케일링되는가?
• RQ5 행렬 임베딩은 선형 대수 작업을 위한 유니버설 양자 계산을 가능하게 하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 유한한 특이값이 Θ(1)일 경우, 프레임워크는 행렬 차원 N과 무관하게 상대 오차가 |ε|^(1/p) + κ_p |εσ|^(1/p) 이하로 제한되는 슈atten p-노름 추정을 달성한다.
• 신뢰 수준 a에 대해 필요한 표본 수 T는 O((1 + εσ²)/(ε²a)) 비례로 증가하며, a = 0.01일 경우 99%의 신뢰 수준을 확보한다.
• 추적 추정 오차는 |Tr(A)|(1 ± ε ± ελ)로 제한되며, 표본 복잡도 T ≈ C(1 + ελ²)/(ε²a)로 유도되며, 이는 슈atten 노름 추정의 p=1 경우에 해당한다.
• 행렬식 추정 오차는 Ke |Tr(log(A))| (ε_log(λ) + ε)로 제한되며, Ke는 지수 함수의 리프시츠 상수이고, ||A|| ≤ 1일 경우 1이다.
• 특이값이 0과 무한대에서 멀리 떨어져 있을 경우, 슈atten 노름 추정의 상대 오차는 행렬 크기 N이 증가함에 따라 증가하지 않는다.
• 이 방법은 임베딩된 행렬에 대한 유니터리 액세스를 활용하므로 BQP-완전 계산을 지원한다. 이는 임의의 양자 회로를 인코딩할 수 있기 때문이다.