[논문 리뷰] Complement-Free Couples Must Communicate: A Hardness Result for Two-Player Combinatorial Auctions

Tomer Ezra, Michal Feldman외 3명|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 24.

Auction Theory and Applications참고 문헌 32인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 두 개의 하위가수적 입찰자가 있는 조합 Auction에서 1/2를 초월하는 근사치를 달성하기 위해 지수적 통신이 필요하다는 것을 입증하며, 이는 임의의 배분 또는 그랜드 번들에 대한 제2차 입찰 경매와 같은 단순한 프로토콜이 1/2를 초월하는 비트리비얼 근사치에 대해 최적임을 증명한다. 주요 결과는 1/2 + 6/log₂m 근사치를 보장하는 모든 프로토콜이 아이템 수 m에 대해 지수적 통신을 사용해야 한다는 점을 보여주며, 열린 문제를 해결한다.

ABSTRACT

We study the communication complexity of welfare maximization in combinatorial auctions with $m$ items and two subadditive bidders. A $\frac{1}{2}$-approximation can be guaranteed by a trivial randomized protocol with zero communication, or a trivial deterministic protocol with $O(1)$ communication. We show that outperforming these trivial protocols requires exponential communication, settling an open question of [DobzinskiNS10, Feige09]. Specifically, we show that any (randomized) protocol guaranteeing a $(\frac{1}{2}+\frac{6}{\log_2 m})$-approximation requires communication exponential in $m$. This is tight even up to lower-order terms: we further present a $(\frac{1}{2}+\frac{1}{O(\log m)})$-approximation in poly($m$) communication. To derive our results, we introduce a new class of subadditive functions that are "far from" fractionally subadditive functions, and may be of independent interest for future works. Beyond our main result, we consider the spectrum of valuations between fractionally-subadditive and subadditive via the MPH hierarchy. Finally, we discuss the implications of our results towards combinatorial auctions with strategic bidders.

연구 동기 및 목표

• 두 명의 하위가수적 조합 Auction에서 비지수적 통신으로 1/2를 초월하는 비트리비얼 근사치가 가능한지 여부라는 열린 문제를 해결하기 위해.
• n=2일 때 하위가수적 가치 함수에 대한 복리 최적화의 엄밀한 통신 복잡도 하한을 설정하기 위해.
• 분수적 하위가수성에서 멀리 떨어진 새로운 하위가수적 함수의 클래스를 도입하여 향후 연구에 유용할 수 있도록 하기 위해.
• 이러한 결과들이 조합 Auction에서 진실성 있는 및 비진실성의 통신 효율적인 메커니즘에 미치는 영향을 탐색하기 위해.

제안 방법

• 저자들은 하위가수적 가치 함수가 분수적 하위가수성에서 멀리 떨어져 있음을 보여주기 위해 확률적 방법을 사용하여 딱딱한 인스턴스를 구성한다.
• 일부 커버리지 성질이 양의 확률로 성립하도록 보장하기 위해 ℓ-독립적인 집합의 가족을 정의한다.
• 핵심 기술적 구성 요소는 σS(⋅)의 하위가수성과 보완 함수의 성질에 기반한 모순을 사용하여 유도된 함수 fℓS(⋅)가 하위가수적임을 증명하는 것이다.
• 모든 ℓ-크기의 부분집합과 이진 벡터에 대해 유니언 바운드를 사용하여 ℓ-독립적인 가족이 양의 확률로 존재함을 보인다.
• 이 구성은 1/2 + 6/log₂m 근사치를 달성하는 데 필요한 모든 프로토콜이 m에 대해 지수적 통신을 사용해야 한다는 것을 보여준다.
• 논문은 또한 다항식(m) 통신을 사용하여 (1/2 + 1/O(log m))-근사치를 달성하는 프로토콜을 제시하며, 하한이 하위항목의 차수까지 정확하게 유지됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 명의 하위가수적 조합 Auction에서 (1/2 + ε)-근사치를 비지수적 통신으로 달성할 수 있는가?
• RQ2 이 설정에서 1/2-근사치를 초월하는 데 필요한 정확한 통신 복잡도 임계값은 무엇인가?
• RQ3 분수적 하위가수성 함수와 상당히 다른 하위가수적 가치 함수가 존재하는가? 그리고 이러한 함수들은 딱딱한 인스턴스를 구성하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ4 진실성 있는 메커니즘과 비진실성 메커니즘 간의 통신 복잡도는 두 명의 입찰자 케이스에서 어떻게 비교되는가?
• RQ5 하위가수적 가치 함수와 MPH 계층 간의 관계는 통신 복잡도 측면에서 어떻게 되는가?

주요 결과

• 두 하위가수적 입찰자에게 (랜덤화된) 프로토콜이 (1/2 + 6/log₂m)-근사치를 보장하려면 m에 대해 지수적 통신이 필요하다.
• 1/2-근사치는 0 또는 O(1) 통신으로 쉽게 달성 가능하며, 비지수적 통신으로는 더 나은 근사치를 달성할 수 없다.
• 매칭 상한이 존재한다: (1/2 + 1/O(log m))-근사치는 다항식(m) 통신으로 달성 가능하다.
• 논문은 분수적 하위가수성에서 멀리 떨어진 새로운 하위가수적 함수의 클래스를 도입하였으며, 이는 별도의 관심사가 될 수 있다.
• 모든 단조적 하위가수적 함수는 m개의 아이템에 대해 MPH-⌈m/2⌉이며, 이는 MPH 계층과의 연결 고리를 설정한다.
• 결과들은 이 설정에서 통신 효율적인 진실성 있는 메커니즘이 조건부로 단순한 프로토콜을 초월할 수 없다는 것을 암시한다. 즉, 정직한 보고를 하더라도 그러한 메커니즘은 성능에서 열등하다.