[논문 리뷰] Complementarity and Related Problems

Lianghai Xiao|arXiv (Cornell University)|2021. 08. 17.

Risk and Portfolio Optimization참고 문헌 105인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 확장된 2차원 원뿔 위에서 선형 보완 문제를 해결하기 위한 새로운 접근법을 제안한다. 이를 위해 문제를 비음수 부피에서 혼합 보완 문제로 재구성함으로써 효율적인 알고리즘적 해법을 가능하게 한다. 또한 이 틀을 확률적 확장으로 발전시켜 문제 매개변수의 불확실성을 반영하고, 포트폴리오 최적화에 적용하여 새로운 모델에 대해 해석적 해를 도출한다. 더불어 구형 자기쌍대 볼록집합, 특히 구형 2차원 원뿔 위에서 이차 함수의 구형 준볼록성 조건을 수립한다.

ABSTRACT

In this thesis, we present results related to complementarity problems. We study the linear complementarity problems on extended second order cones. We convert a linear complementarity problem on an extended second order cone into a mixed complementarity problem on the non-negative orthant. We present algorithms for this problem, and exemplify it by a numerical example. Following this result, we explore the stochastic version of this linear complementarity problem. Finally, we apply complementarity problems on extended second order cones in a portfolio optimisation problem. In this application, we exploit our theoretical results to find an analytical solution to a new portfolio optimisation model. We also study the spherical quasi-convexity of quadratic functions on spherically self-dual convex sets. We start this study by exploring the characterisations and conditions for the spherical positive orthant. We present several conditions characterising the spherical quasi-convexity of quadratic functions. Then we generalise the conditions to the spherical quasi-convexity on spherically self-dual convex sets. In particular, we highlight the case of spherical second order cones.

연구 동기 및 목표

• 최적화 및 균형 모델링에서 발생하는 확장된 2차원 원뿔 위에서의 선형 보완 문제를 다루기 위해.
• 이러한 문제들을 비음수 부피 위의 혼합 보완 문제로 변환하여 해법이 용이한 방법을 개발하기 위해.
• 문제 매개변수의 불확실성을 반영하기 위해 이 틀을 확률적 환경으로 확장하기 위해.
• 이론적 결과를 새로운 포트폴리오 최적화 모델에 적용하여 해석적 해를 도출하기 위해.
• 특히 구형 2차원 원뿔을 포함한 구형 자기쌍대 볼록집합 위에서 이차 함수의 구형 준볼록성 조건을 특성화하기 위해.

제안 방법

• 적절한 변환을 사용하여 확장된 2차원 원뿔 위의 선형 보완 문제를 비음수 부피 위의 혼합 보완 문제로 재구성하기.
• 변환된 혼합 보완 문제에 특화된 수치적 알고리즘을 제안하고, 수치 예제를 통해 검증하기.
• 랜덤 매개변수를 포함시켜 선형 보완 문제의 확률적 확장을 도입하고, 기대 잔여치 최소화를 통해 해결하기.
• 이론적 틀을 새로운 포트폴리오 최적화 모델에 적용하여, 보완 조건을 활용해 해석적 해를 도출하기.
• 구형 자기쌍대 볼록집합 위에서 이차 함수의 구형 준볼록성에 대한 필요 및 충분 조건을 수립하며, 특히 구형 2차원 원뿔에 중점을 두기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확장된 2차원 원뿔 위의 선형 보완 문제는 어떻게 효과적으로 수치적 해법을 위해 재구성할 수 있는가?
• RQ2 이 맥락에서 보완 문제의 해 구조에 대해 확률성이 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ3 제안된 틀은 새로운 포트폴리오 최적화 모델에서 해석적 해를 도출할 수 있는가?
• RQ4 구형 자기쌍대 볼록집합 위에서 이차 함수의 구형 준볼록성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 구형 2차원 원뿔의 성질은 구형 준볼록성의 특성화에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 확장된 2차원 원뿔 보완 문제에서 비음수 부피 위의 혼합 보완 문제로의 변환은 표준 솔버를 활용한 효과적인 수치적 해법을 가능하게 한다.
• 수치 예제를 통해 제안된 알고리즘적 접근의 실현 가능성과 효율성을 입증한다.
• 문제의 확률적 확장은 기대 잔여치 최소화를 통해 제안된 구조를 유지하면서도 성공적으로 제작 및 해결된다.
• 확장된 2차원 원뿔 위의 보완 이론적 결과를 활용하여 새로운 포트폴리오 최적화 모델에 대해 해석적 해를 도출한다.
• 구형 자기쌍대 볼록집합 위에서 이차 함수의 구형 준볼록성에 대한 필요 및 충분 조건이 수립되었으며, 특히 구형 2차원 원뿔에 대해 명시적인 특성화가 이루어졌다.