[논문 리뷰] Complementary Dual Subfield Linear Codes Over Finite Fields

Kriangkrai Boonniyom, Somphong Jitman|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 22.

Coding theory and cryptography참고 문헌 5인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 유한체에서의 두 종류의 선형 코드, 즉 허미트 보완 쌍대 코드와 트레이스 허미트 보완 쌍대 부분체 선형 코드를 소개하고 분석한다. 이때 체의 크기는 제곱수여야 하며 ($q = r^2$) 해당 구조에서 보완 쌍대 코드가 되기 위한 필요 및 충분 조건을 설정하고, 이러한 코드를 생성하는 구축 방법을 제시하며, 그 매개변수와 구체적인 예를 제시함으로써 양자 및 고전적 오류 정정 코드 이론에서 더 나은 이중성 성질을 갖는 코드 이론에 기여한다.

ABSTRACT

Two families of complementary codes over finite fields $\mathbb{F}_q$ are studied, where $q=r^2$ is square: i) Hermitian complementary dual linear codes, and ii) trace Hermitian complementary dual subfield linear codes. Necessary and sufficient conditions for a linear code (resp., a subfield linear code) to be Hermitian complementary dual (resp., trace Hermitian complementary dual) are determined. Constructions of such codes are given together their parameters. Some illustrative examples are provided as well.

연구 동기 및 목표

• 체의 크기가 제곱수인 유한체 위에서 보완 쌍대 선형 코드의 구조와 성질을 조사하는 것 ($q = r^2$).
• 두 가지 새로운 클래스인 허미트 보완 쌍대 선형 코드와 트레이스 허미트 보완 쌍대 부분체 선형 코드를 정의하고 특성화하는 것.
• 선형 코드(또는 부분체 선형 코드)가 허미트 또는 트레이스 허미트 보완 쌍대가 되기 위한 필요 및 충분 조건을 규명하는 것.
• 해당 코드의 명시적 구성을 제공하고 차원 및 최소 거리와 같은 매개변수를 분석하는 것.
• 양자 및 고전적 부호 이론에 적용 가능한 자가쌍대 및 보완 쌍대 부호 이론에 기여하는 것.

제안 방법

• 논문은 제곱수 차수의 유한체 위에서 허미트 내적을 사용하여 선형 부호의 이중성과 보완성을 정의한다.
• 기본 부분체로의 확장 초과 부호의 이중성 개념을 넘어서, 부분체 선형 부호에 대해 트레이스 허미트 이중성을 도입한다.
• 허미트 형식 하에서 생성 행렬의 질량과 핵을 사용하여 보완 쌍대 부호가 되기 위한 필요 및 충분 조건을 유도한다.
• 부분체 선형 부호의 경우, $\mathbb{F}_q$에서 $\mathbb{F}_r$로의 트레이스 사상에 의해 트레이스 허미트 이중이 정의되며, 이에 따라 보완성 조건이 설정된다.
• 생성 행렬과 $\mathbb{F}_q$ 위에서의 대수적 구축 방법을 사용하여 구체적인 방법을 제공하며, 이중 부호가 원래 부호와 자명하게만 교차하도록 보장한다.
• 기존의 부호 가족을 사용하여 명시적으로 예를 구성하고, 보완 쌍대 조건을 만족하는지 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 체의 크기가 제곱수인 $\mathbb{F}_q$ ($q = r^2$) 위의 선형 부호가 허미트 보완 쌍대가 되기 위한 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ2 트레이스 사상에 의해 전체 체에서 부분체로의 이중성을 확장할 수 있는가? 즉, 트레이스 허미트 이중성을 정의하기 위해 트레이스 사상을 어떻게 활용할 수 있는가?
• RQ3 부분체 선형 부호이자 트레이스 허미트 보완 쌍대인 부호의 구조적 성질과 매개변수 성질은 무엇인가?
• RQ4 기존의 매개변수(차원, 최소 거리)를 갖는 이러한 부호의 명시적 구축이 가능한가?
• RQ5 이러한 구축 방법은 기존의 자가쌍대 또는 보완 쌍대 부호 가족과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 선형 부호가 $\mathbb{F}_q$ ($q = r^2$) 위에서 허미트 보완 쌍대가 되기 위한 필요 및 충분 조건이 허미트 내적 하에서 생성 행렬의 질량과 핵을 통해 기술된다.
• 부분체 선형 부호의 경우, $\mathbb{F}_q$에서 $\mathbb{F}_r$로의 트레이스 사상에 기반한 등가 조건이 트레이스 허미트 보완 쌍대 이중성에 대해 유도된다.
• 허미트 보완 쌍대 부호의 명시적 구축이 제공되며, $[n,k,d]$와 같은 특정 매개변수와 $q = r^2$를 포함한 예시들이 포함되어 실현 가능성을 보여준다.
• 기존의 고전적 부호에서 유도된 매개변수를 갖는 트레이스 허미트 보완 쌍대 부분체 선형 부호가 제시되어 있으며, 그 존재성과 구조가 입증된다.
• 구체적인 예시들은 이론적 조건과 구축의 타당성을 확인하며, 이중 부호가 원래 부호와 자명하게만 교차하는 경우도 포함된다.
• 결과적으로, 트레이스 허미트 이중성을 갖는 부분체 선형 부호를 포함하여 기존의 보완 쌍대 부호의 범주가 확장되어, 양자 및 고전적 부호 설계의 풍경을 풍부하게 한다.