[논문 리뷰] Complete Conjugacy Invariants of Nonlinearizable Holomorphic Dynamics

Kingshook Biswas|ArXiv.org|2009. 03. 13.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 2인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 무리수의 불변 고정점에서 비선형화가 불가능한 해석적 원소의 동치류가 그 회전 수와 히지히의 균일형 클래스(즉, 내부가 없는 완전히 불변된 연결 컴acts 집합)에 의해 완전히 결정됨을 증명한다. 이는 두 such 원소가 서로 가환함과 동시에 동일한 히지히를 공유함과 동치이며, Diff(ℂ,0)의 비선형화가 불가능한 최대 아벨 부분군과 히지히의 원소들 사이에 일대일 대응을 구축함으로써, 히지히를 비선형화가 불가능한 해석적 동치 불변량으로서의 핵심 역할을 한다.

ABSTRACT

Perez-Marco proved the existence of non-trivial totally invariant connected compacts called hedgehogs near the fixed point of a nonlinearizable germ of holomorphic diffeomorphism. We show that if two nonlinearisable holomorphic germs with a common indifferent fixed point have a common hedgehog then they must commute. This allows us to establish a correspondence between hedgehogs and nonlinearizable maximal abelian subgroups of Diff$(\bf C,0)$. We also show that two nonlinearizable germs are conjugate if and only if their rotation numbers are equal and a hedgehog of one can be mapped conformally onto a hedgehog of the other. Thus the conjugacy class of a nonlinearizable germ is completely determined by its rotation number and the conformal class of its hedgehogs.

연구 동기 및 목표

• 비선형화가 불가능한 해석적 원소의 무리수의 불변 고정점에서의 동치류를 특성화하기 위해.
• 단지 회전 수만으로는 부족한, 이러한 원소들을 위한 완전한 불변량 집합을 확립하기 위해.
• 히지히—비선형화가 불가능하고 완전히 불변된 컴acts 집합—를 근본적인 동역학적 대상으로서의 역할을 명확히 하기 위해.
• 두 비선형화가 불가능한 원소가 서로 가환함과 동시에 동일한 히지히를 공유함과 동치임을 증명하기 위해.
• Diff(ℂ,0)의 비선형화가 불가능한 최대 아벨 부분군과 히지히의 원소들 사이에 전단사 대응을 구축하기 위해.

제안 방법

• 히지히에 관한 Perez-Marco의 결과를 활용함—내부가 없는 완전히 불변된 연결 컴acts 집합이며 복소수 위상수학적 성질을 가짐.
• 정리 3.1을 적용함—항등원에 타당한 원소가 히지히를 보존하면 반드시 항등원이어야 한다는 정리로, 가환성의 증명에 사용함.
• 공통된 히지히를 보존하는 원소들은 반드시 가환하며, 반대로 가환하는 원소들은 동일한 히지히를 보존한다는 사실을 활용함.
• 비선형화가 불가능한 원소의 중심화자(centralizer)를 통해 히지히의 원소와 최대 아벨 부분군 사이의 대응을 구축함.
• 히지히의 균일형 클래스를 핵심 불변량으로 정의함—히지히의 주변부 사이의 등각 사상(Conformal mapping)을 사용함.
• 두 비선형화가 불가능한 원소가 동치임은 그 회전 수가 같고, 히지히가 등각적으로 동치일 때에만 성립함을 증명함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형화가 불가능한 해석적 원소가 무리수의 불변 고정점에서 동치류가 완전히 결정되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 선형화 영역 이외의 불변 컴acts 집합을 사용하여 비선형화가 불가능한 원소의 역학을 분류할 수 있는가?
• RQ3 Diff(ℂ,0)의 비선형화가 불가능한 최대 아벨 부분군과 히지히의 원소들 사이에 일대일 대응이 존재하는가?
• RQ4 두 비선형화가 불가능한 원소가 언제 가환하는가?
• RQ5 히지히의 등각 기하학적 성질은 관련된 해석적 원소의 동치성과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 두 비선형화가 불가능한 원소가 동치임은 그 회전 수가 같고, 한 원소의 히지히를 다른 원소의 히지히로 등각적으로 매핑할 수 있을 때에만 성립한다.
• 두 비선형화가 불가능한 원소가 공통된 히지히를 보존하면 반드시 가환하며, 그 가환자(commutator)는 항등원이 된다.
• Diff(ℂ,0)의 비선형화가 불가능한 최대 아벨 부분군과 히지히의 원소들 사이에 전단사 대응이 존재한다.
• 모든 비선형화가 불가능한 원소의 중심화자는 그에 대응하는 히지히 원소의 자기동형군과 동형이다.
• 회전 수와 히지히의 균일형 클래스는 비선형화가 불가능한 원소들의 완전한 동치 불변량을 이룬다.
• 부분군과 히지히 사이의 대응은 Diff(ℂ,0)의 원소에 의한 쌍대변환 하에서도 유지되므로, 히지히 원소는 완전한 동치 불변량이 된다.