[논문 리뷰] Complete Constant Mean Curvature surfaces and Bernstein type Theorems in $\mathbb{M}^2 imes \mathbb{R}$

José M. Espinar, Harold Rosenberg|ArXiv.org|2008. 08. 25.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 13인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 각도 함수 $\nu = \langle N, \partial_t \rangle$ 가 부호를 가지지 않는 조건 하에서, $\mathbb{M}^2$ 가 완전한 리만 다양체일 때, 곱공간 $\mathbb{M}^2 \times \mathbb{R}$ 내의 완전한 일정 평균곡률(CMC) 표면을 분류한다. $H \neq 0$ 이고, 사영 $c(\Sigma)$ 의 최소값이 $0$ 이상이면, 표면은 일정 곡률 $2H$ 를 갖는 완전한 곡선 위의 수직 실린더이다. $c(\Sigma) < 0$ 이고 $H > \sqrt{-c(\Sigma)}/2$ 이면, 표면은 일정 곡률 $2H$ 를 갖는 완전한 곡선 위의 수직 실린더이며, 이는 최적임을 보여준다. $H = 0$ 이면, 표면은 수직 평면, 수평 슬라이스, 또는 $\mathbb{M}^2$ 가 평탄한 계량을 갖는 경우 기울어진 평면이다.

ABSTRACT

In this paper we study constant mean curvature surfaces $Σ$ in a product space, $\mathbb{M}^2 imes \mathbb{R}$, where $\mathbb{M}^2$ is a complete Riemannian manifold. We assume the angle function $ν= \meta{N}{\partial_t}$ does not change sign on $Σ$. We classify these surfaces according to the infimum $c(Σ)$ of the Gaussian curvature of the projection of $Σ$. When $H eq 0$ and $c(Σ)\geq 0$, then $Σ$ is a cylinder over a complete curve with curvature 2H. If H=0 and $c(Σ) \geq 0$, then $Σ$ must be a vertical plane or $Σ$ is a slice $\mathbb{M}^2 imes {t}$, or $\mathbb{M}^2 \equiv \mathbb{R}^2$ with the flat metric and $Σ$ is a tilted plane (after possibly passing to a covering space). When $c(Σ)&lt;0$ and $H&gt;\sqrt{-c(Σ)} /2$, then $Σ$ is a vertical cylinder over a complete curve of $\mathbb{M}^2$ of constant geodesic curvature $2H$. This result is optimal. We also prove a non-existence result concerning complete multi-graphs in $\mathbb{M}^2 imes \mathbb{R}$, when $c(\mathbb{M}^2)&lt;0$.

연구 동기 및 목표

• 각도 함수 $\nu = \langle N, \partial_t \rangle$ 가 변하지 않는 조건 하에서, $\mathbb{M}^2 \times \mathbb{R}$ 내의 완전한 일정 평균곡률(CMC) 표면을 분류하는 것.
• 표면의 사영 $\Sigma$ 에 대한 고유곡률의 최소값인 $c(\Sigma)$ 에 기반한 기하적 제약 조건을 규명하는 것.
• $\mathbb{R}^3$ 에서의 고전적 버네스타인 유형 정리들을 $\mathbb{M}^2 \times \mathbb{R}$ 과 같은 곱공간으로 확장하는 것, 특히 $H \neq 0$ 과 $H = 0$ 의 경우를 포함하여.
• $c(\mathbb{M}^2) < 0$ 이고 $H > \sqrt{-c(\mathbb{M}^2)}/2$ 이면, $\mathbb{M}^2 \times \mathbb{R}$ 내에서 전체 그래프가 존재하지 않음을 증명하는 비존재 결과를 도출하는 것.

제안 방법

• 각도 함수 $\nu = \langle N, \partial_t \rangle$ 가 부호를 가지지 않는 것은 $\mathbb{R}^3$ 에서의 가우스 매핑이 닫힌 반구에 위치한다는 것을 일반화한다.
• 기하학적 주요 불변량인 $c(\Sigma) = \inf\{ \kappa(\pi(p)) \mid p \in \Sigma \}$ 를 사용하여, 기저 다양체 $\mathbb{M}^2$ 의 곡률에 기반해 표면을 분류한다.
• 안정성 연산자 $J = \Delta + |A|^2 + \text{Ric}(\vec{n})$ 를 사용해 후보 표면, 특히 수직 실린더의 안정성을 분석한다.
• 최대원리에 기반한 모순 증명을 통해 불안정한 구성요소를 배제하며, 컴acts 도메인의 변형을 사용해 표면이 점 渐진한 극한에 도달할 수 없음을 보여, 평균곡률 비교 원리를 위반함을 밝힌다.
• 기술적 방법은 [HRS] 에서의 기법을 활용하며, $\mathbb{R}^3$ 에서의 Hoffman, Osserman, Schoen 의 결과를 곱공간으로 일반화한다.
• 분류는 $c(\Sigma)$ 의 부호에 따라 경우를 나누어 진행되며, $H = 0$ 과 $H \neq 0$ 의 경우에 대해 각각 다른 결과를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표면의 $c(\Sigma)$ 와 $H$ 가 어떤 조건일 때, 각도 함수가 변하지 않는 $\mathbb{M}^2 \times \mathbb{R}$ 내의 완전한 $H$-표면이 일정 곡률 $2H$ 를 갖는 곡선 위의 수직 실린더가 되는가?
• RQ2 $c(\Sigma) \geq 0$ 이고 $H = 0$ 이면 어떤 일이 발생하는가? 표면은 평면이나 슬라이스로 유지되거나, 기울어진 평면이 될 수 있는가?
• RQ3 $c(\mathbb{M}^2) < 0$ 이고 $H > \sqrt{-c(\mathbb{M}^2)}/2$ 이면, $\mathbb{M}^2 \times \mathbb{R}$ 내에서 일정 평균곡률 $H$ 를 갖는 전체 그래프가 존재할 수 있는가?
• RQ4 $c(\Sigma) < 0$ 인 경우에 $H > \sqrt{-c(\Sigma)}/2$ 조건이 실린더 분류에 대해 최적이 되는가?
• RQ5 안정성 연산자 $J = \Delta + |A|^2 + \text{Ric}(\vec{n})$ 는 비실린더 표면을 배제하는 데 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• $H \neq 0$ 이고 $c(\Sigma) \geq 0$ 이면, 표면 $\Sigma$ 는 $\mathbb{M}^2$ 내의 일정 곡률 $2H$ 를 갖는 완전한 곡선 위의 수직 실린더이다.
• $H = 0$ 이고 $c(\Sigma) \geq 0$ 이면, $\Sigma$ 는 수직 평면, 수평 슬라이스 $\mathbb{M}^2 \times \{t\}$, 또는 $\mathbb{M}^2 \cong \mathbb{R}^2$ 이고 평탄한 계량을 갖는 경우 기울어진 평면일 수 있다.
• $c(\Sigma) < 0$ 이고 $H > \sqrt{-c(\Sigma)}/2$ 이면, $\Sigma$ 는 $\mathbb{M}^2$ 내의 일정 곡률 $2H$ 를 갖는 완전한 곡선 위의 수직 실린더이며, 이 결과는 최적이다.
• $c(\mathbb{M}^2) < 0$ 이고 $H > \sqrt{-c(\mathbb{M}^2)}/2$ 이면, $\mathbb{M}^2 \times \mathbb{R}$ 내에 일정 평균곡률 $H$ 를 갖는 전체 그래프는 존재하지 않으며, 이는 날카로운 비존재 결과를 증명한다.
• 수직 실린더 $Q = \widetilde{C} \times \mathbb{R}$ 에서의 안정성 연산자 $J$ 는 $J = \Delta + a$ 를 만족하며, $a = 4H^2 + \kappa > 0$ 이다. 큰 도메인에서의 불안정성은 최대원리를 통해 모순을 이끌어내며, 이를 통해 비실린더 표면의 존재를 배제한다.
• 분류 결과는 최적이며, 이는 $\mathbb{H}^2 \times \mathbb{R}$ 내에서 곡률 경계를 만족하는 언듈로이드 유형 표면의 존재를 통해 입증된다.