[논문 리뷰] Complete positivity and dissipative factorized dynamics: some comments

Fabio Benatti, Roberto Floreanini외 2명|ArXiv.org|2003. 10. 24.

Quantum Mechanics and Applications참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 이원 열린 양자 시스템의 인수분해 마르코프 동역학이 양의성을 유지하는 조건을 조사한다. 일반적으로 텐서곱 맵의 양의성은 개별 하위계의 완전 양의성(CP)을 요구하지 않지만, 한 동역학이 다른 동역학의 소규모 교란일 경우 CP는 필수적임을 보여준다. 이는 열수조에 연결된 시스템에서 흔한 경우이다. 핵심 결과는 이러한 교란 조건 하에서 물리적 일관성을 피하기 위해 두 맵의 CP가 반드시 필요하다는 것이다.

ABSTRACT

After reviewing the main properties of time-evolutions of open quantum systems, some considerations about the positivity of factorized Markovian dynamics for bipartite systems are made. In particular, it is shown that the positivity of the whole time-evolution in general does not ask for the complete positivity of the single system time-evolutions, if they are allowed to differ. However, they must be completely positive if one is a small perturbation of the other, which is the typical situation for open systems in a heat bath.

연구 동기 및 목표

• 열린 양자 시스템에서 인수분해된 동역학의 양의성과 개별 하위계 시간진화의 완전 양의성(CP) 간의 관계를 명확히 하기.
• 서로 다른 동역학을 거치는 하위계가 있을 때, 연합 맵 $\gamma_t^{(1)} \otimes \gamma_t^{(2)}$의 양의성이 $\gamma_t^{(1)}$과 $\gamma_t^{(2)}$의 CP를 유도하는지 조사하기.
• 이원 시스템에서 물리적 일관성을 위해 개별 맵의 CP가 어떤 조건에서 필수적인지 규명하기, 특히 소규모 교란이 존재할 경우.
• 열수조에 연결된 시스템에서처럼 $\gamma_t^{(2)}$가 $\gamma_t^{(1)}$의 소규모 교란일 경우, 두 맵 모두에 CP가 필요하다는 것을 증명하기.

제안 방법

• 마르코프 동역학의 준군 구조를 사용하여 시간진화 생성자 $L$과 $L_\varepsilon = L + \varepsilon\Lambda$로 표현한다.
• 겔 맨 기저에서 생성자의 행렬 표현을 사용하여 리들란드 연산자와 관련된 에르미트 행렬 $C$와 $C_\varepsilon$를 도출한다.
• 결합 시스템에 대해 $C_1 + C_2 \geq 0$ 조건을 통해 텐서곱 맵 $\gamma_t^{(1)} \otimes \gamma_t^{(2)}$의 양의성을 분석한다.
• 편미분 이론을 활용하여, 만약 소규모 $\varepsilon$에 대해 $\gamma_t \otimes \gamma_t^\varepsilon$가 양의성을 유지한다면, $\varepsilon$가 0의 근처에서 $C_\varepsilon \geq 0$임을 보인다.
• 모든 $\xi \in \mathbb{C}^{n^2-1}$에 대해 $\langle \xi | C_\varepsilon | \xi \rangle \geq 0$라는 사실을 이용하여 $C_\varepsilon$가 양의정의임을 유도하고, 따라서 $\gamma_t^\varepsilon$가 CP임을 증명한다.
• CP의 필요성은 모순에 기반한다: $C_\varepsilon$가 양의정의가 아니면, 소규모 $\varepsilon$에 대해 텐서 맵의 양의성이 성립하지 않는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 요약된 맵 $\gamma_t^{(1)} \otimes \gamma_t^{(2)}$의 양의성이 $\gamma_t^{(1)}$과 $\gamma_t^{(2)}$가 모두 완전 양의성임을 의미하는가?
• RQ2 개별 하위계 동역학의 CP가 연합 시스템의 물리적 일관성을 위해 어떤 조건에서 필수적인가?
• RQ3 한 하위계의 진화가 다른 하위계의 진화의 소규모 교란일 경우, 연합 동역학의 양의성은 어떻게 되는가?
• RQ4 열수조에 연결된 시스템에서, 하위계가 서로 다른 동역학을 겪더라도 왜 완전 양의성이 요구되는가?

주요 결과

• 서로 다른 동역학을 거치는 두 하위계가 있을 때, 요약된 맵 $\gamma_t^{(1)} \otimes \gamma_t^{(2)}$의 양의성은 일반적으로 $\gamma_t^{(1)}$이나 $\gamma_t^{(2)}$의 완전 양의성을 유도하지 않는다.
• 그러나 $\gamma_t^{(2)}$가 $\gamma_t^{(1)}$의 소규모 교란이라면, $\gamma_t^{(1)} \otimes \gamma_t^{(2)}$의 양의성은 두 맵의 CP를 유도한다.
• 모든 $\varepsilon \in I_0 = [0, \varepsilon_0]$에 대해 연합 맵 $\gamma_t \otimes \gamma_t^\varepsilon$가 양의성을 유지하려면, $\gamma_t$와 $\gamma_t^\varepsilon$가 모두 완전 양의성이어야 한다는 간격 $I_0$가 존재한다.
• 완전 양의성의 필요성은 $C_\varepsilon = C + \varepsilon\Gamma$가 소규모 $\varepsilon$에 대해 양의정의를 유지해야 하기 때문에 발생하며, 이는 $C$가 양의정의가 아닐 경우 실패한다.
• 결과적으로, 열수조와 같은 약한 차이가 있는 동역학 하에서 이원 시스템의 물리적 일관성은 개별 시간진화의 완전 양의성을 요구한다.