[논문 리뷰] Completely bounded representations of convolution algebras of locally compact quantum groups

Michael Brannan, Matthew Daws외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 07. 11.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 48인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 국소적으로 컴act한 양자군에 관련된 컨볼루션 대수의 완전 유계 표현을 조사하며, 표현 π가 ∗-준동형사상과 유사함이 되는 것은 물론이고, π와 그 쌍대 π*가 모두 완전 유계일 때에만 성립함을 증명한다. 주요 기여는 핵심 표현 Vπ의 가역성이 π와 π*의 완전 유계성과 동치임을 보여주는 이중성 결과로, 기존의 푸리에 대수 이론을 양자 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

Given a locally compact quantum group $\mathbb G$, we study the structure of completely bounded homomorphisms $π:L^1(\mathbb G) ightarrow\mathcal B(H)$, and the question of when they are similar to $\ast$-homomorphisms. By analogy with the cocommutative case (representations of the Fourier algebra $A(G)$), we are led to consider the associated map $π^*:L^1_\sharp(\mathbb G) ightarrow \mathcal B(H)$ given by $π^*(ω) = π(ω^\sharp)^*$. We show that the corepresentation $V_π$ of $L^\infty(\mathbb G)$ associated to $π$ is invertible if and only if both $π$ and $π^*$ are completely bounded. Moreover, we show that the co-efficient operators of such representations give rise to completely bounded multipliers of the dual convolution algebra $L^1(\hat \mathbb G)$. An application of these results is that any (co)isometric corepresentation is automatically unitary. An averaging argument then shows that when $\mathbb G$ is amenable, $π$ is similar to a *-homomorphism if and only if $π^*$ is completely bounded. For compact Kac algebras, and for certain cases of $A(G)$, we show that any completely bounded homomorphism $π$ is similar to a *-homomorphism, without further assumption on $π^*$. Using free product techniques, we construct new examples of compact quantum groups $\mathbb G$ such that $L^1(\mathbb G)$ admits bounded, but not completely bounded, representations.

연구 동기 및 목표

• L¹(𝐺)의 완전 유계 표현을 연구하여 디크스미에르의 유사성 문제를 국소적으로 컴팩트한 양자군으로 일반화한다.
• 쌍대 사상 π*를 통해 이러한 표현이 ∗-준동형사상과 유사해지는 조건을 특성화한다.
• 가역적 핵심 표현과 함께 완전 유계 표현 π와 π* 사이의 이중성을 확립한다.
• 이러한 표현의 계수 연산자가 쌍대 컨볼루션 대수 L¹(Ĝ) 위의 완전 유계 다중연산자로 이끌어짐을 보인다.
• 자유곱 기법을 사용하여, 유계이지만 완전 유계가 아닌 표현을 갖는 새로운 컴팩트 양자군의 예를 구성한다.

제안 방법

• π*(ω) = π(ω♯)*로 정의하여 L¹♯(𝐺) 위에 쌍대 사상 π*를 정의함으로써, π를 역원을 포함하는 부분공간으로 확장한다.
• 핵심 표현 이론을 사용하여 각 표현 π: L¹(𝐺) → ℬ(H)에 대해 유계 연산자 Vπ ∈ L∞(𝐺) ⊗ ℬ(H)를 할당한다.
• 이중성과 비유계 쌍대자 S의 성질을 이용하여, Vπ가 가역임과 동시에 π와 π*가 모두 완전 유계임이 동치임을 증명한다.
• L¹(Ĝ) 위의 완전 유계 다중연산자 이론을 적용하여, π의 계수 연산자가 이러한 다중연산자를 유도함을 보인다.
• 압착 기법을 사용하여, amenable한 경우에 π가 ∗-준동형사상과 유사함이 되는 것은 π*가 완전 유계일 때에만 성립함을 보인다.
• 자유곱을 통한 컴팩트 양자군의 구성 기법을 사용하여, 유계이지만 완전 유계가 아닌 표현을 갖는 새로운 예를 제시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소적으로 컴팩트한 양자군 𝐺에 대해, 완전 유계 표현 π: L¹(𝐺) → ℬ(H)이 ∗-준동형사상과 유사해지는 조건은 무엇인가?
• RQ2 양자군 표현의 맥락에서, π와 그 쌍대 π*의 완전 유계성 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 가역적 핵심 표현 Vπ는 π와 π*의 완전 유계성과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 π의 계수 연산자는 쌍대 컨볼루션 대수 L¹(Ĝ)의 다중연산자 이론에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 자유곱 구성 기법을 통해, L¹(𝐺)가 유계이지만 완전 유계가 아닌 표현을 갖는 컴팩트 양자군을 얻을 수 있는가?

주요 결과

• 𝐺가 amenable할 경우, 표현 π: L¹(𝐺) → ℬ(H)가 ∗-준동형사상과 유사함이 되는 것은 물론이고, π와 π*가 모두 완전 유계일 때에만 성립한다.
• 핵심 표현 Vπ가 L∞(𝐺) ⊗ ℬ(H)에서 가역임은 물론이고, π와 π*가 모두 완전 유계일 때에만 성립한다.
• π와 π*가 완전 유계일 경우, π의 계수 연산자는 쌍대 컨볼루션 대수 L¹(Ĝ) 위의 완전 유계 다중연산자를 유도한다.
• 컴팩트 Kac 대수와 A(G)의 특정 경우에서는, π*가 완전 유계일 필요 없이 모든 완전 유계 준동형사상 π가 ∗-준동형사상과 유사해진다.
• 자유곱 기법을 사용하여, L¹(𝐺)가 유계이지만 완전 유계가 아닌 표현을 갖는 컴팩트 양자군의 새로운 예를 구성하였다.
• 결과의 응용으로, 임의의 (코)등거리 핵심 표현은 자동으로 유니터리임을 보였다.