[논문 리뷰] Completely Reachable Automata: A Polynomial Algorithm and Quadratic Upper Bounds

Robert Ferens, Marek Szykuła|arXiv (Cornell University)|2022. 08. 11.

semigroups and automata theory인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 결정론적 유한 오토마타가 완전 가용 가능한지 O(|Σ|·n²) 시간과 O(|Σ|·n) 공간 내에서 결정하는 다항식 시간 알고리즘을 제시한다. 여기서 n은 상태 수이다. 또한 비어 있지 않은 부분집합에 대한 도달 임계값에 대해 이차 상한을 증명하며, Don의 추측을 일반화하고, 완전 가용 오토마타에 대해 O(n²)의 리셋 임계값 상한을 도출한다.

ABSTRACT

A complete deterministic finite (semi)automaton (DFA) with a set of states $Q$ is \emph{completely reachable} if every nonempty subset of $Q$ is the image of the action of some word applied to $Q$. The concept of completely reachable automata appeared, in particular, in connection with synchronizing automata; the class contains the Čern{ý} automata and covers several distinguished subclasses. The notion was introduced by Bondar and Volkov (2016), who also raised the question about the complexity of deciding if an automaton is completely reachable. We develop an algorithm solving this problem, which works in ${\mathcal{O}(|Σ|\cdot n^2)}$ time and $\mathcal{O}(|Σ|\cdot n)$ space, where $n=|Q|$ is the number of states and $|Σ|$ is the size of the input alphabet. In the second part, we prove a weak Don's conjecture for this class of automata: a nonempty subset of states $S \subseteq Q$ is reachable with a word of length at most $2n(n-|S|) - n \cdot H_{n-|S|}$, where $H_i$ is the $i$-th harmonic number. This implies a quadratic upper bound in $n$ on the length of the shortest synchronizing words (reset threshold) for the class of completely reachable automata and generalizes earlier upper bounds derived for its subclasses.

연구 동기 및 목표

• 주어진 오토마타가 완전 가용 가능한지 여부를 결정하는 열린 문제를 해결하기 위해.
• 모든 비어 있지 않은 상태 부분집합에 도달하는 데 필요한 단어 길이의 날카운 상한을 확립하기 위해.
• 완전 가용 오토마타의 클래스에 대해 Don의 추측을 일반화하기 위해.
• 동기화 오토마타의 부분클래스에 대한 기존 리셋 임계값 상한을 향상시키기 위해.
• 동기화 오토마타의 효율적 테스트 및 분석을 위한 이론적 기반을 제공하기 위해.

제안 방법

• 전체 상태 집합 위에서 단어 작용을 통해 부분집합의 가용성을 분석하는 기반의 결정 알고리즘을 개발한다.
• 역상과 군 궤도를 통한 가용 부분집합의 새로운 특성화를 사용한다.
• 조화수 상한을 적용하여 단어 길이에 대한 날카운 추정치를 도출한다.
• Rystsov 그래프 일반화와 치환 및 특이 문자를 갖는 오토마타의 구조적 성질을 활용한다.
• 더 짧은 단어들로부터 더 긴 도달 단어를 구축하기 위한 재귀적 확장 기법을 적용한다.
• 군 궤도 크기와 조화수를 사용하여 부분집합에 도달하는 단어 길이를 제한하는 방법을 도입한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 DFA의 완전 가용성은 다항식 시간 내에 결정할 수 있는가?
• RQ2 완전 가용 오토마타에서 비어 있지 않은 부분집합에 도달하는 데 필요한 단어 길이에 대해 가장 날카운 가능한 상한은 무엇인가?
• RQ3 Don의 추측은 완전 가용 오토마타의 클래스에 대해 성립하는가? 만약 그렇다면 어떤 형태로 성립하는가?
• RQ4 완전 가용 오토마타의 리셋 임계값은 n에 대해 이차적으로 상한을 가질 수 있는가?
• RQ5 군 궤도 크기와 같은 구조적 성질은 도달 가능성 상한에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 논문은 DFA의 완전 가용성을 결정하는 O(|Σ|·n²) 시간과 O(|Σ|·n) 공간 알고리즘을 제시한다.
• Don의 추측의 약한 형태를 증명한다: 임의의 비어 있지 않은 부분집합 S ⊆ Q는 길이가 최대 2n(n−|S|)−n·H_{n−|S|} 이하인 단어로 도달 가능하며, 여기서 H_i는 i번째 조화수이다.
• 이 상한은 완전 가용 오토마타에 대해 리셋 임계값에 대한 이차 상한을 암시한다. 구체적으로 n≥6일 때 ≤ 2n(n−2)−n·ln(n−2)−γn+1 이다.
• 최대 군 궤도 크기 ℓ≤ln n 이면 상한이 n(n−|S|)로 강화되며, 이는 이러한 오토마타에 대해 Cerný 추측이 성립함을 의미한다.
• 간단한 아이디포텐트를 갖거나, 1-수축성 아페리오딕 오토마타와 같은 부분클래스에 대한 이전 상한보다 개선된 결과를 얻는다.
• 크기가 n−ω(1) 이상인 부분집합의 가용성으로의 일반화는 일반화된 피하기 단어 방법을 적용할 경우, 서브큐빅 리셋 임계값, 즉 o(n³)을 도출한다.