[논문 리뷰] Completeness of the ZH-calculus

Miriam Backens, Aleks Kissinger외 3명|arXiv (Cornell University)|2021. 03. 11.

Logic, programming, and type systems인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 Toffoli+Hadamard 게이트 세트에 대응하는 Z[1/2] 위의 행렬에 대해, 양자 계산을 위한 그림적 언어인 ZH-계산법의 완비성을 확립한다. 부울 함수 항법에 기반한 최소한의 재작성 규칙 세트를 도입하고, 정규형 축약을 통해 그들의 완비성을 증명하며, 2가 영인자가 아닌 임의의 환으로 계산법을 확장하여 보편 양자 계산 조각에 대해 완비적이고 최소한의 공리 체계를 제공한다.

ABSTRACT

There are various gate sets used for describing quantum computation. A particularly popular one consists of Clifford gates and arbitrary single-qubit phase gates. Computations in this gate set can be elegantly described by the ZX-calculus, a graphical language for a class of string diagrams describing linear maps between qubits. The ZX-calculus has proven useful in a variety of areas of quantum information, but is less suitable for reasoning about operations outside its natural gate set such as multi-linear Boolean operations like the Toffoli gate. In this paper we study the ZH-calculus, an alternative graphical language of string diagrams that does allow straightforward encoding of Toffoli gates and other more complicated Boolean logic circuits. We find a set of simple rewrite rules for this calculus and show it is complete with respect to matrices over $\mathbb{Z}[\frac12]$, which correspond to the approximately universal Toffoli+Hadamard gateset. Furthermore, we construct an extended version of the ZH-calculus that is complete with respect to matrices over any ring $R$ where $1+1$ is not a zero-divisor.

연구 동기 및 목표

• 클리포드+위상 게이트 세트를 초월하는 양자 회로에 대해 추론할 수 있는 완비적인 그림적 계산법을 개발하는 것, 특히 Toffoli와 같은 다중 제어 게이트를 포함하는 경우를 대상으로 한다.
• 원래의 ZX-계산법이 부족하게 지원하는 바와 같이, Toffoli 게이트와 같은 더 복잡한 부울 논리 연산을 처리할 수 있도록 ZX-계산법 프레임워크를 확장하는 것.
• Toffoli+Hadamard 게이트 세트에 대응하는 Z[1/2] 위의 행렬에 대해 ZH-계산법의 완비성을, 최소하고 직관적인 재작성 규칙 세트를 사용하여 확립하는 것.
• 2가 영인자가 아닌 임의의 환 R에 대해 계산법을 일반화하여, 양자 계산에 관련된 더 넓은 대수적 구조에서 완비성을 확보하는 것.
• 일부 규칙의 중복성을 입증하고 보다 직관적인 규칙 세트를 제안함으로써 공리 체계를 단순화하고 최적화하는 것.

제안 방법

• H-상자(일반화된 하다드 상자)와 Z-스피드러를 생성자로 사용하여 ZH-계산법을 도입하며, Z[1/2] 위에서 행렬 해석을 제공한다.
• 부울 함수 이론의 항등식에 기반한 재작성 규칙 세트—곱하기, 도입, 평균화 등—을 정의한다.
• 조건부 축약 규칙를 사용한 ZH-다이어그램의 정규형을 개발하여 다이어그램의 체계적 단순화 및 비교를 가능하게 한다.
• 다이어그램가 동일한 행렬을 나타내는 경우, 재작성 규칙를 사용해 동일한 정규형으로 변환될 수 있음을 보여줌으로써 완비성을 증명한다.
• 1+1이 영인자가 아닌 임의의 환 R로 계산법을 확장하기 위해, 1/2가 R에 속하지 않을 경우 스칼라 인자를 취소하는 메타규칙을 도입한다.
• !-상자 표기법과 애너테이션된 !-상자를 사용하여 다이어그램의 집합을 표현하고, 무한한 수의 회로에 대한 성질을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Toffoli+Hadamard 게이트 세트에 대해 최소하고 직관적인 재작성 규칙 세트를 사용하여 ZH-계산법의 완비성을 확립할 수 있는가?
• RQ2 ZH-계산법의 표준 재작성 규칙, 예를 들어 (hh) 규칙는 필수적인가, 아니면 더 단순한 규칙들로부터 유도될 수 있는가?
• RQ3 2가 영인자가 아닌 임의의 환에서 ZH-계산법을 확장하여 완비성을 확보할 수 있는가? 그러한 완비성을 확보하기 위해 어떤 수정이 필요한가?
• RQ4 모든 규칙가 완비성에 필수적인 최소성의 관점에서 계산법이 최소한인가? 일부 규칙는 제거되거나 더 단순한 것으로 대체될 수 있는가?
• RQ5 생성자를 재해석함으로써 복소수 위의 유니터리 행렬을 표현할 수 있도록 계산법을 적응시킬 수 있는가? 이 경우 완비성은 유지되는가?

주요 결과

• Toffoli+Hadamard 게이트 세트에 대응하는 Z[1/2] 위의 행렬에 대해 ZH-계산법은 최소하고 직관적인 재작성 규칙 세트를 사용하여 완비성이 입증된다.
• (hh) 규칙는 완비성에 필수적이지 않으며, 나머지 규칙들로부터 유도될 수 있어 공리 체계의 단순화가 가능하다.
• (o) 규칙는 두 개의 더 단순하고 직관적인 규칙로 대체될 수 있어 계산법의 명확성과 이해도를 향상시킨다.
• 1/2가 R에 속하지 않을 경우 스칼라 인자를 취소하는 메타규칙을 도입함으로써, 1+1이 영인자가 아닌 임의의 환 R에 대해 계산법을 확장할 수 있으며, 이로써 완비성이 유지된다.
• 정규형 구성은 임의의 다이어그램이 고유한 표준형으로 단순화될 수 있음을 보장하여 다이어그램 동치성의 결정 절차를 가능하게 한다.
• H-상자 생성자를 1/2가 아닌 1/√2로 재해석하더라도 계산법은 여전히 완비성을 유지하며, 이는 A ∈ Z^n×n 인 형태의 (1/√2)^n A 행렬을 표현할 수 있게 한다.