[논문 리뷰] Completeness of the ZX-calculus

Quanlong Wang|arXiv (Cornell University)|2022. 09. 29.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 6

한 줄 요약

이 학위논문은 ZW-계산법의 완전성 결과를 번역하여, 보편적인 큐비트 양자역학을 위한 ZX-계산법의 첫 번째 완전한 공리체계를 제시한다. 이는 클리포드+T 양자역학의 보편적 완전성과 2 큐비트 클리포드+T 회로에 대한 완전성 증명을 9개의 규칙만으로 확립하며, 큐트리플 스태빌라이저 양자역학으로의 완전성 확장을 포함한다. 이는 다수의 양자 시스템 간에 엄밀하고 규칙 기반의 등가성 검증이 가능한 다이어그램 기반 추론을 가능하게 한다.

ABSTRACT

The ZX-calculus is an intuitive but also mathematically strict graphical language for quantum computing, which is especially powerful for the framework of quantum circuits. Completeness of the ZX-calculus means any equality of matrices with size powers of $n$ can be derived purely diagrammatically. In this thesis, we give the first complete axiomatisation the ZX-calculus for the overall pure qubit quantum mechanics, via a translation from the completeness result of another graphical language for quantum computing -- the ZW-calculus. This paves the way for automated pictorial quantum computing, with the aid of some software like Quantomatic. Based on this universal completeness, we directly obtain a complete axiomatisation of the ZX-calculus for the Clifford+T quantum mechanics, which is approximatively universal for quantum computing, by restricting the ring of complex numbers to its subring corresponding to the Clifford+T fragment resting on the completeness theorem of the ZW-calculus for arbitrary commutative ring. Furthermore, we prove the completeness of the ZX-calculus (with just 9 rules) for 2-qubit Clifford+T circuits by verifying the complete set of 17 circuit relations in diagrammatic rewriting. In addition to completeness results within the qubit related formalism, we extend the completeness of the ZX-calculus for qubit stabilizer quantum mechanics to the qutrit stabilizer system. Finally, we show with some examples the application of the ZX-calculus to the proof of generalised supplementarity, the representation of entanglement classification and Toffoli gate, as well as equivalence-checking for the UMA gate.

연구 동기 및 목표

• 보편적인 순수 큐비트 양자역학을 위한 완전한 다이어그램 기반 공리체계를 확립하기 위해.
• ZW-계산법에서 이전에 확립된 임의의 가환환에 대한 완전성 결과를 번역하여 클리포드+T 양자역학의 조각에 대한 완전성 도출하기 위해.
• 오직 아홉 개의 규칙만을 사용하여 2 큐비트 클리포드+T 회로에 대한 ZX-계산법의 완전성 증명하기 위해.
• 완전성 결과를 큐트리플 스태빌라이저 양자역학 프레임워크로 확장하기 위해.
• ZX-계산법의 실용적 응용 사례를 보여주기 위해, 즉 얽힘 분류, 일반화된 보완성, 게이트 등가성 증명하기 위해.

제안 방법

• 이전에 임의의 가환환에 대해 확립된 ZW-계산법의 완전성 결과를 ZX-계산법 프레임워크로 번역하기 위해.
• 복소수의 링을 클리포드+T 조각에 해당하는 부분환으로 제한하여 완전한 공리체계 도출하기 위해.
• 2 큐비트 클리포드+T 회로에 대한 완전성을 입증하기 위해 ZX-계산법 내에서 17개의 기본 회로 관계를 다이어그램적으로 검증하기 위해.
• 일반화된 그래프 상태와 LC 유형 변환을 사용하여 큐트리플 스태빌라이저 상태에 대한 다이어그램 형식 체계 도입하기 위해.
• 감소된 GS-LC(일반화된 스태빌라이저 LC) 표현과 재작성 규칙을 통한 스태빌라이저 다이어그램의 정규형 개발하기 위해.
• 보편적 완전성 결과를 적용하여 Quantomatic과 같은 도구에서 자동 등가성 검증 및 회로 최적화 가능하게 하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ZX-계산법은 보편적인 순수 큐비트 양자역학에 대해 완전하게 확보될 수 있는가, 만약 그렇다면 다른 그래픽스 계산법으로부터의 번역을 통해 어떻게 달성할 수 있는가?
• RQ2 ZX-계산법은 클리포드+T 양자역학 조각에 대해 완전한가, 그리고 이는 ZW-계산법의 완전성 결과에서 유도될 수 있는가?
• RQ3 ZX-계산법은 오직 아홉 개의 규칙만을 사용하여 2 큐비트 클리포드+T 회로에 대해 완전성을 달성할 수 있는가, 그리고 이는 n 큐비트 회로로 확장 가능한가?
• RQ4 ZX-계산법의 완전성 결과는 큐디트 시스템, 특히 큐트리플 스태빌라이저 양자역학으로 확장될 수 있는가?
• RQ5 완전한 ZX-계산법은 양자 회로 등가성 증명과 얽힘 분류에 실용적으로 어떻게 응용될 수 있는가?

주요 결과

• ZW-계산법에서의 번역을 통해, ZX-계산법은 보편적인 큐비트 양자역학에 대해 완전함이 입증되었으며, 이는 이 분야에서 첫 번째 완전한 다이어그램 기반 계산법을 확립한다.
• 복소수의 링을 클리포드+T 조각에 해당하는 부분환으로 제한함으로써, ZX-계산법에 대한 완전하고 최소한의 공리체계가 도출되었다.
• 오직 아홉 개의 규칙만을 사용하여 2 큐비트 클리포드+T 회로에 대한 ZX-계산법의 완전성이 입증되었으며, 17개의 기본 회로 관계가 모두 다이어그램적으로 검증되었다.
• 완전성 결과는 큐트리플 스태빌라이저 양자역학으로 확장되었으며, 큐비트의 경우와 비교해 훨씬 더 큰 국소 클리포드 군(216개 원소 대비 24개 원소)을 고려함에도 불구하고 비트라이벌한 일반화를 보여주었다.
• 이 프레임워크는 일반화된 보완성 증명, 얽힘 분류, Toffoli 게이트 구성, UMA 게이트 등가성 검증과 같은 실용적 응용을 가능하게 하였다.
• 이 결과들은 자동화된 양자 회로 최적화 및 Quantomatic과 같은 도구와의 통합을 위한 기반을 마련하였으며, 향후 큐디트 시스템과 무한차원 양자역학으로의 확장 가능성도 열어두고 있다.