[논문 리뷰] Completeness with respect to the probabilistic Pompeiu-Hausdorff metric

Ştefan Cobzaş|ArXiv.org|2005. 07. 11.

Fixed Point Theorems Analysis참고 문헌 14인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 확률적 거리 공간에서 확률적 Pompeiu-Hausdorff 거리에 대해 닫힘, 유계, 컴팩트, 볼록 부분집합들의 가족이 완비임을 확립한다. 만약 확률적 거리 공간 $L$가 완비이면, $L$의 공집합이 아닌 모든 닫힌 부분집합, 닫힌 유계 부분집합, 컴팩트 부분집합, 그리고 추가 조건 하에 닫힌 볼록 부분집합들의 집합도 확률적 Hausdorff 거리 $H$에 대해 완비임을 증명한다. 이 결과는 메트릭 공간에서의 고전적 완비성 결과를 확률적 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

The aim of the present paper is to prove that the family of all closed nonempty subsets of a complete probabilistic metric space $L$ is complete with respect to the probabilistic Pompeiu-Hausdorff metric $H$. The same is true for the families of all closed bounded, respectively compact, nonempty subsets of $L$. If $L$ is a complete random normed space in the sense of Šerstnev, then the family of all nonempty closed convex subsets of $L$ is also complete with respect to $H$.

연구 동기 및 목표

• 완비 메트릭 공간에서의 Pompeiu-Hausdorff 거리에 대한 고전적 완비성 결과를 확률적 설정으로 확장하기.
• 완비 확률적 거리 공간의 공집합이 아닌 닫힌, 유계, 또는 컴팩트 부분집합들의 가족이 확률적 Pompeiu-Hausdorff 거리에 대해 여전히 완비인지 조사하기.
• Šerstnev의 관점에서 완비 랜덤 노름 공간에서 닫힌 볼록 부분집합들의 완비성 검토하기.
• 이전의 Menger 확률적 거리 공간에 대한 결과를 더 넓은 범주로 확장하기.
• 집합가치 가족의 완비성을 보장함으로써 확률적 거리 공간에서 고정점 이론과 불변 집합 이론의 기초 마련하기.

제안 방법

• 확률적 거리 공간 $L$의 공집합이 아닌 닫힌 부분집합들의 가족에 대해 Egbert와 Tardiff의 작업에 기반한 확률적 Pompeiu-Hausdorff 거리 $H$를 정의한다.
• 확률적 설정에서 수렴과 위상 구조를 정의하기 위해 분포 함수 공간 $\Delta$ 위에 Lévy 거리 $d_L$를 사용한다.
• 모든 $\Delta$ 내의 수열이 약수렴하는 부분수열을 가지도록 보장하기 위해 Helly의 첫 번째 정리를 적용한다. 이는 기저 공간의 완비성을 뒷받침한다.
• 집합론적 구성에 기반한 증명: 닫힌 집합들의 코시 수열의 극한이 교차와 합집합의 폐쇄를 통해 스스로도 닫혀 있음을 보여준다.
• 볼록 집합의 경우, $\epsilon$-근접 집합 $(A_m)_\epsilon$ 에서의 볼록성 유지와 가산 교차 집합이 여전히 볼록임을 이용한다.
• 완비 Šerstnev 랜덤 노름 공간에서 $L$이 완비이고 특정 부등식 조건을 만족하는 sup-연속 삼각 함수를 갖는다고 가정할 때, 공집합이 아닌 닫힌 볼록 부분집합들의 가족 $P_{fc}(L)$의 완비성이 확립된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완비 확률적 거리 공간 $L$의 공집합이 아닌 모든 닫힌 부분집합들의 가족은 확률적 Pompeiu-Hausdorff 거리에 대해 완비인가?
• RQ2 완비 확률적 거리 공간의 공집합이 아닌 모든 닫힌 유계 및 컴팩트 부분집합들의 가족도 동일한 거리에 대해 완비인가?
• RQ3 완비 Šerstnev 랜덤 노름 공간에서 닫힌 볼록 부분집합들의 집합은 확률적 Hausdorff 거리에 대해 완비인가?
• RQ4 삼각 함수에 어떤 조건이 성립하면 닫힌 볼록 집합들의 가족이 완비가 되는가?
• RQ5 확률적 Pompeiu-Hausdorff 완비성 결과의 확률적 동치는 Menger 공간을 초월해 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 완비 확률적 거리 공간 $L$의 공집합이 아닌 모든 닫힌 부분집합들의 가족은 확률적 Pompeiu-Hausdorff 거리 $H$에 대해 완비이다.
• 완비 확률적 거리 공간 $L$의 공집합이 아닌 모든 닫힌 유계 및 컴팩트 부분집합들의 가족도 $H$에 대해 완비이다.
• 만약 $L$이 완비 Šerstnev 랜덤 노름 공간이라면, $L$의 공집합이 아닌 모든 닫힌 볼록 부분집합들의 가족은 $H$에 대해 완비이다.
• 완비 Šerstnev 랜덤 노름 공간에서 공집합이 아닌 모든 컴팩트 볼록 부분집합들의 가족은 $H$에 대해 완비이다.
• $P_{fc}(L)$의 완비성은 각 $A_m$이 볼록일 때 극한 집합 $A = \bigcap_{\epsilon>0}\bigcup_{n\geq1}\bigcap_{m\geq n}(A_m)_\epsilon$ 가 볼록이고 닫혀 있음을 통해 유도된다.
• 증명은 $\epsilon$-근접 집합에서의 볼록성 유지와 확률적 Hausdorff 거리에서의 수열 수렴에 기반한다.