[논문 리뷰] Completion process and quasi-convex subgroups

Olga Kharlampovich, Alexei Myasnikov외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 08.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 35인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 자동군, 예를 들어 하이퍼볼릭 또는 직각 아르틴 군과 같은 군의 유한 생성 준볼록 부분군에 대한 그래픽 표현을 효과적으로 계산하는 방법을 제시한다. 이 표현은 부분군의 교차, 유한성, 쌍대일치, 유한 지표 및 거의 말노르말성 등의 핵심 알고리즘 문제를 해결하는 데 유용하지만, 군의 자동 구조와 부분군 생성자로부터 계산에 대한 계산 가능한 시간 복잡도 상한이 존재하지 않는다.

ABSTRACT

We show how to effectively compute a graphical representation for a finitely generated quasi-convex subgroup H of an automatic group G (e.g. a hyperbolic group, a right-angled Artin group etc.). Such repre-sentations, which are well-known for subgroups of free groups but also in a number of other situations (e.g. subgroups of amalgamated products of finite groups [Markus-Epstein, 2007] or of virtually free groups [Silva, Soler-Escriva, Ventura, 2011]), can be used to solve algorithmic problems such as computing the intersection of finitely generated subgroups or de-ciding finiteness, and under appropriate hypotheses, to decide whether two subgroups are conjugated, or whether a subgroup has finite index or it is almost malnormal. We also discuss the complexity of computation of this graphical repre-sentation: there is no computable bound on the time required to compute it, given the automatic structure of G and a set of words generating H;

연구 동기 및 목표

• 자동군 내 유한 생성 준볼록 부분군의 그래픽 표현을 효과적으로 계산하기 위한 알고리즘을 개발하는 것.
• 자유군 및 기타 특수 케이스에서 알려진 방법을 하이퍼볼릭 및 직각 아르틴 군을 포함한 더 넓은 군의 범주로 확장하는 것.
• 계산된 그래픽 표현을 사용하여 기본 부분군 문제에 대한 알고리즘적 해법을 가능하게 하는 것.
• 표현 과정의 계산 복잡도를 분석하는 것—특히 계산 가능한 시간 상한이 존재하지 않는다는 점에 중점을 두고서.

제안 방법

• 환경 군 G의 자동 구조를 활용하여 부분군 H를 나타내는 유한 상태 오토마타를 구성하는 것.
• H의 준볼록성 덕분에 그래픽 표현이 유한하고 효과적으로 계산 가능하다는 것을 보장하는 것.
• 자유군 및 거의 자유군에서의 부분군 알고리즘 기법을 자동군의 더 넓은 범주로 적용하는 것.
• 어휘-하이퍼볼릭 및 자동군 이론을 활용하여 구성 과정에서 기하학적 및 알고리즘적 통제를 유지하는 것.
• 자동 구조에서 유도된 정규 언어의 대표자 집합이 H 내에 존재한다는 것을 기반으로 하는 것.
• 기존의 부분군 교차 및 쌍대일치 알고리즘을 그래픽 표현의 프레임워크에 통합하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자동군 내 준볼록 부분군에 대한 그래픽 표현을 효과적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 이러한 표현은 어떻게 부분군의 교차 또는 유한성과 같은 알고리즘 문제를 해결하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ3 자동 구조와 부분군 생성자로부터 그래픽 표현을 계산하는 데 있어 계산 가능한 시간 상한이 존재하는가?
• RQ4 어떤 조건에서 표현을 통해 부분군의 쌍대일치 또는 유한 지표 문제를 결정할 수 있는가?
• RQ5 자유군을 초월하여 하이퍼볼릭 및 직각 아르틴 군을 포함한 더 넓은 범주로 이 방법을 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 자동군 내 유한 생성 준볼록 부분군에 대한 그래픽 표현은 군의 자동 구조를 활용하여 효과적으로 계산할 수 있다.
• 그래픽 표현은 부분군의 교차 계산 및 유한성 결정과 같은 알고리즘 문제를 해결하는 데 유용하다.
• 적절한 가정 하에 표현을 사용하여 쌍대일치 및 유한 지표 문제를 결정할 수 있다.
• 필요한 조건이 충족될 경우 표현을 통해 부분군의 거의 말노르말성 여부를 판단할 수 있다.
• 자동 구조와 생성 단어가 제공된다고 해도 그래픽 표현을 계산하는 데 소요되는 시간에 대해 계산 가능한 상한이 존재하지 않는다.