[논문 리뷰] Completions of µ-Algebras

Luigi Santocanale, Lif-Cmi Marseille|arXiv (Cornell University)|2011. 01. 01.

Logic, programming, and type systems참고 문헌 17인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비자명한 µ-대수의 쿼시베리에티가 완비화될 수 없는 원소를 포함함을 증명하며, 자유 모달 µ-대수에 대해 매크내일-디드킨 완비화가 고정점 번갈아오름계층의 모든 연산을 유지하는 Whitman 유사 조건을 증명한다. 또한 최소의 고정점은 구성적 반복 공식 µx.f = ∨n≥0 fn(⊥)를 만족하며, 모달 연산자가 자유 모달 µ-대수에서 쌍대성 연산자로 작용함을 보여준다.

ABSTRACT

A µ-algebra is a model of a first order theory that is an extension of the theory of bounded lattices, that comes with pairs of terms (f, µx.f) where µx.f is axiomatized as the least prefixed point of f, whose axioms are equations or equational implications. Standard µ-algebras are complete meaning that their lattice reduct is a complete lattice. We prove that any non trivial quasivariety of µ-algebras contains a µ-algebra that has no embedding into a complete µ-algebra. We focus then on modal µ-algebras, i.e. algebraic models of the propositional modal µ-calculus. We prove that free modal µ-algebras satisfy a condition – reminiscent of Whitman’s condition for free lattices – which allows us to prove that (i) modal operators are adjoints on free modal µ-algebras, (ii) least prefixed points of Σ1-operations satisfy the constructive relation µx.f = ∨ n≥0 fn (⊥). These properties imply the following statement: the MacNeille-Dedekind completion of a free modal µ-algebra is a complete modal µ-algebra and moreover the canonical embedding preserves all the operations in the class Comp(Σ1,Π1) of the fixed point alternation hierarchy.

연구 동기 및 목표

• 모든 µ-대수가 완비 µ-대수에 통합될 수 있는지 조사하기.
• 완비성과 고정점 구성에 관련된 자유 모달 µ-대수의 구조적 성질을 규명하기.
• 자유 모달 µ-대수의 매크내일-디드킨 완비화가 완비 모달 µ-대수를 유도하는 조건을 설정하기.
• 자유 모달 µ-대수에서 모달 연산자와 최소의 고정점의 행동을 분석하기.
• 표준 통합이 고정점 번갈아오름계층의 Comp(Σ1,Π1) 클래스에서 모든 연산을 유지하는지 확인하기.

제안 방법

• 비자명한 µ-대수의 쿼시베리에티가 완비 µ-대수에 통합될 수 없는 µ-대수를 포함함을 증명한다.
• 자유 모달 µ-대수에 대해 매크내일 유사 조건을 도입하여 그 순서론적 성질을 분석할 수 있도록 한다.
• 자유 모달 µ-대수에서 모달 연산자가 쌍대성 연산자임을 보여주며, 강력한 이중성 성질을 유도한다.
• Σ1-연산자의 최소 고정점에 대해 구성적 반복 공식 µx.f = ∨n≥0 fn(⊥)을 확립한다.
• 자유 모달 µ-대수에 매크내일-디드킨 완비화를 적용하여 완비 모달 µ-대수를 도출한다.
• 표준 통합이 고정점 번갈아오름계층의 Comp(Σ1,Π1) 클래스에서 모든 연산을 유지하는지 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 µ-대수가 완비 µ-대수에 통합될 수 있는가, 아니면 비자명한 쿼시베리에티에 완비화될 수 없는 예가 존재하는가?
• RQ2 자유 모달 µ-대수의 구조를 활용하여 모든 연산을 유지하는 완비 완비화를 구성할 수 있는가?
• RQ3 자유 모달 µ-대수에서 모달 연산자가 쌍대성 연산자로 작용하는가, 그리고 이는 그들의 순서론적 구조에 어떤 함의를 갖는가?
• RQ4 자유 모달 µ-대수에서 최소 고정점에 대해 공식 µx.f = ∨n≥0 fn(⊥)이 성립하는가?
• RQ5 자유 모달 µ-대수의 매크내일 완비화로의 표준 통합이 Comp(Σ1,Π1) 클래스의 연산을 유지하는가?

주요 결과

• 비자명한 µ-대수의 쿼시베리에티는 완비 µ-대수에 통합될 수 없는 µ-대수를 포함한다.
• 자유 모달 µ-대수들은 매크내일 유사 조건을 만족하며, 이는 그들의 순서 및 쌍대성 성질을 분석할 수 있도록 한다.
• 자유 모달 µ-대수에서 모달 연산자는 쌍대성 연산자이며, 강력한 이중성과 순서론적 일관성을 반영한다.
• 모든 Σ1-연산자의 최소 고정점은 구성적 반복 공식 µx.f = ∨n≥0 fn(⊥)를 만족한다.
• 자유 모달 µ-대수의 매크내일-디드킨 완비화는 완비 모달 µ-대수를 유도한다.
• 자유 모달 µ-대수의 매크내일 완비화로의 표준 통합은 고정점 번갈아오름계층의 Comp(Σ1,Π1) 클래스에서 모든 연산을 유지한다.