[논문 리뷰] Completions of mapping class groups and the cycle $C - C^-$

Richard Hain|ArXiv.org|1992. 07. 23.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 14인용 수 48

한 줄 요약

이 논문은 $ g \geq 3 $ 인 경우, 토렐리 군의 유니포텐트 완비화가 매핑 클래스 군의 상대 완비화의 프루니포텐트 라디칼로 surjective이며, $ g \geq 8 $ 일 때 핵이 $ \mathbb{Q} $ 와 동형임을 확립한다. 이 결과는 종 수 3 곡선의 아르키메데스 높이 쌍대성의 호지 이론적 연구를 통해 산술적 위상수학과 모듈리 공간 기하학을 연결한다.

ABSTRACT

In this paper we study the proalgebraic completion of mapping class relative to their maps to the symplectic group. The main result is that the natural map from the unipotent (a.k.a. Malcev) completion of the Torelli group to the prounipotent radical of the Sp_g completion of the mapping class group is a non trivial central extension with kernel isomorphic to Q, at least when g \ge 8. The theorem is proved by relating the central extension to the line bundle associated to the archemidean height of the cycle C - C- in the Jacobian of the curve C. We also develop some of the basic theory of relative completions.

연구 동기 및 목표

• 매핑 클래스 군의 상대 말체브 완비화를 통한 토렐리 군의 유니포텐트 완비화의 구조를 이해하기 위해.
• 토렐리 군의 코homological 성질을 곡선의 모듈리 공간 기하학과 연결하기 위해.
• 호지 이론적 불변량을 사용하여 토렐리 군의 유니포텐트 완비화에 비자명한 중심 확장 수립하기 위해.
• 매핑 클래스 군의 상대 완비화를 종 수 3 아르키메데스 높이의 대수적 사이클 $ C - C^{-} $ 와 연결하기 위해.

제안 방법

• 매핑 클래스 군 $ \Gamma_{g,r}^n $ 의 심플렉틱 표현 $ \rho: \Gamma_{g,r}^n \to \mathrm{Sp}_g(\mathbb{Z}) $ 에 대해 상대 완비화를 구성하여, $ \mathrm{Sp}_g $ 를 확장하는 프로대수적 군 $ \mathcal{G}_{g,r}^n $ 과 그 프루니포텐트 부분군 $ \mathcal{U}_{g,r}^n $ 을 얻는다.
• 토렐리 군 $ T_{g,r}^n $ 에서 $ \mathcal{U}_{g,r}^n $ 으로 유도된 준동형사상을 연구하고, 그 유니포텐트 완비화 $ \mathcal{T}_{g,r}^n \to \mathcal{U}_{g,r}^n $ 를 분석한다.
• 호지 이론적 기법을 사용하여 중심 확장 $ \mathcal{T}_{g,r}^n \to \mathcal{U}_{g,r}^n $ 을 종 수 3 곡선의 아르키메데스 높이 쌍대성과 연결한다.
• 높이 쌍대성과 관련된 선다발 $ \mathcal{L} $ 와 그 모듈리 공간 $ \mathcal{M}_3(l, \alpha, \delta) $ 으로의 당김을 분석하고, 그 차수와 체른 클래스를 계산한다.
• 선다발 $ \delta^*\mathcal{L} $ 의 투영을 사용하여 $ \pi_* (2\mathcal{H}_\Delta - 4\mathcal{H}_0) = 28 \cdot 35 \, \mathcal{H} $ 를 계산한다. 여기서 $ \mathcal{H} $ 는 초타원곡선의 위치를 뜻한다.
• 체른 클래스 $ -9 \cdot 28 \cdot 35 \, c_1(N) $ 를 계산함으로써 $ H^2(L(l); \mathbb{Q}) $ 에 있는 확장 클래스가 0이 아니라는 것을 보여, 이는 $ H^2(\mathcal{A}_3(l); \mathbb{Q}) $ 에서도 0이 아님을 의미한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 토렐리 군의 유니포텐트 완비화가 매핑 클래스 군의 상대 완비화의 몫으로서 갖는 구조는 무엇인가?
• RQ2 종 수 3 곡선의 야곱시안에서 사이클 $ C - C^{-} $ 의 아르키메데스 높이 쌍대성은 토렐리 군의 코homological 성질과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 $ \mathcal{T}_{g,r}^n \to \mathcal{U}_{g,r}^n $ 에 자연스러운 사상의 핵은 무엇이며, 언제 $ \mathbb{Q} $ 와 동형이 되는가?
• RQ4 모듈리 공간 위의 선다발을 통해 토렐리 군의 유니포텐트 완비화에 존재하는 비자명한 중심 확장의 비자명성을 감지할 수 있는가?
• RQ5 토렐리 군의 유니포텐트 완비화에서 $ \mathcal{T}_{g,r}^n \to \mathcal{U}_{g,r}^n $ 의 핵이 $ \mathbb{Q} $ 와 동형이 되는 최소 종 수 $ g $ 는 얼마이며, 이는 $ H^2(\mathrm{Sp}_g(\mathbb{Z}), A) $ 의 코homological vanishing 과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• $ g \geq 3 $ 일 때, 자연스러운 준동형사상 $ \mathcal{T}_{g,r}^n \to \mathcal{U}_{g,r}^n $ 는 surjective 이며, 핵은 $ \mathcal{T}_{g,r}^n $ 의 중심에 포함된다.
• $ g \geq 8 $ 일 때, $ \mathcal{T}_{g,r}^n \to \mathcal{U}_{g,r}^n $ 의 핵은 $ \mathbb{Q} $ 와 동형이 되며, 이는 비자명한 중심 확장을 확립한다.
• 이 중심 확장은 종 수 3 곡선의 야곱시안에서 사이클 $ C - C^{-} $ 의 아르키메데스 높이 쌍대성에서 기인한다.
• 선다발 $ \mathcal{L} \otimes N^{\otimes (-9 \cdot 28 \cdot 35)} $ 는 $ \mathcal{M}_3(l, \alpha, \delta) $ 에서 자명한 선다발로 당겨지며, 이는 $ \mathbb{C}^* $-다발의 업그레이드 존재를 시사한다.
• $ H^2(L(l); \mathbb{Q}) $ 에 있는 확장 클래스는 비자명하며, $ -9 \cdot 28 \cdot 35 \, c_1(N) $ 로 표현되며, 이는 $ H^2(\mathcal{A}_3(l); \mathbb{Q}) $ 에서도 0이 아니다.
• $ H_1(T_3(\alpha, \delta); \mathbb{Q}) \to H_1(G_\mathbb{Z}; \mathbb{Q}) $ 의 이미지는 $ V(\lambda_3) $ 의 대각선 복사본이며, 극화에 대한 브라켓의 평가로 $ \mathbb{Q} \to \Lambda^2 H_1(T_3; \mathbb{Q}) \to \mathbb{Q} $ 의 동형이 얻어진다.