[논문 리뷰] Complex dynamical properties of coupled Van der Pol-Duffing oscillators with balanced loss and gain

Puspendu Roy, Pijush K. Ghosh|arXiv (Cornell University)|2021. 12. 20.

Quantum chaos and dynamical systems참고 문헌 41인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 균형 잃음과 이득을 가진 결합된 반데르폴-더핑 진동자 시스템을 연구하며, 재규격화군(RG)과 다중 척도 분석(MSA)을 사용하여 해석적으로 풀 수 있는 느린 흐름 방정식을 유도한다. 해석적으로 유도된 결과는 해밀토니안 및 비해밀토니안 버전 모두에서 주기적 및 혼돈적 역학을 보여주며, PT 대칭이 필요 없이 균형 잃음과 이득을 가진 시스템에서 해밀토니안 혼돈이 존재함을 입증한다.

ABSTRACT

We consider a Hamiltonian system of coupled Van der Pol-Duffing(VdPD) oscillators with balanced loss and gain. The system is analyzed perturbatively by using Renormalization Group(RG) techniques as well as Multiple Scale Analysis(MSA). Both the methods produce identical results in the leading order of the perturbation. The RG flow equation is exactly solvable and the slow variation of amplitudes and phases in time can be computed analytically. The system is analyzed numerically and shown to admit periodic solutions in regions of parameter-space, confirming the results of the linear stability analysis and perturbation methods. The complex dynamical behavior of the system is studied in detail by using time-series, Poincar$\acute{e}$-sections, power-spectra, auto-correlation function and bifurcation diagrams. The Lyapunov exponents are computed numerically. The numerical analysis reveals chaotic behaviour in the system beyond a critical value of the parameter that couples the two VdPD oscillators through linear coupling, thereby providing yet another example of Hamiltonian chaos in a system with balanced loss and gain. Further, we modify the nonlinear terms of the model to make it a non-Hamiltonian system of coupled VdPD oscillators with balanced loss and gain. The non-Hamiltonian system is analyzed perturbativly as well as numerically and shown to posses regular periodic as well as chaotic solutions. It is seen that the ${\cal{PT}}$-symmetry is not an essential requirement for the existence of regular periodic solutions in both the Hamiltonian as well as non-Hamiltonian systems.

연구 동기 및 목표

• 균형 잃음과 이득을 가진 결합된 반데르폴-더핑 진동자에서의 복잡한 역학적 행동을 연구하기 위해.
• 이러한 시스템에서 정규 주기적 해가 존재하기 위해 PT 대칭이 필수적인지 조사하기 위해.
• 균형 잃음과 이득을 가진 해밀토니안 및 비해밀토니안 모델에서 혼돈의 발생을 분석하기 위해.
• 분석적 섭동 방법(RG 및 MSA)과 수치 시뮬레이션 간의 비교를 통해 결과를 검증하기 위해.
• 비선형 결합과 선형 결합 강도가 혼란 행동을 유도하는 데 어떤 역할을 하는지 탐구하기 위해.

제안 방법

• 결합된 VdPD 진동자 시스템의 섭동 분석을 위해 재규격화군(RG)과 다중 척도 분석(MSA)을 활용하였다.
• 느린 진폭과 위상 진동을 기술하는 RG 흐름 방정식에 대한 정확한 해석적 해를 도출하였다.
• 수치 시뮬레이션을 수행하여 분석 결과를 검증하고 장기적 역학을 탐색하였다.
• 시간 도메인 시리즈, 포incare 절단, 파wer 스펙트럼, 자기상관 함수 및 분기 다이어그램을 사용하여 시스템 행동을 특성화하였다.
• 혼돈과 초기 조건에 대한 민감도를 정량화하기 위해 리아푸노프 지수를 수치적으로 계산하였다.
• 비선형 항을 수정하여 균형 잃음과 이득을 가진 비해밀토니안 버전의 시스템을 구현하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 균형 잃음과 이득을 가진 해밀토니안 시스템이 PT 대칭 없이도 혼돈적 역학을 나타낼 수 있는가?
• RQ2 이러한 시스템에서 정규 주기적 해가 존재하기 위해 PT 대칭이 필수적인 조건인가?
• RQ3 RG 및 MSA 방법은 결합 VdPD 진동자의 느린 역학을 예측하는 데 어떻게 비교되는가?
• RQ4 선형 결합 강도는 혼돈 발생의 촉발에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 비선형 결합의 포함 여부는 정규에서 혼돈으로의 전이에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 결합 VdPD 진동자 시스템의 RG 흐름 방정식은 정확히 해석 가능하여 느린 진폭과 위상 진동의 해석적 계산이 가능하다.
• 수치 시뮬레이션은 PT 대칭 및 비PT 대칭 매개변수 영역 모두에서 주기적 해를 확인하였으며, 이는 정규 역학을 위해 PT 대칭이 필요하지 않음을 시사한다.
• 선형 결합 매개변수의 임계값 초과 시 혼돈 행동이 나타나며, 양의 리아푸노프 지수와 복잡한 포incare 절단을 통해 확인된다.
• 외부 힘 없이도 시스템은 해밀토니안 혼돈을 나타내며, 반감속 진동자와의 결합이 내부 에너지 공급원으로 작용한다.
• 비선형 항을 수정한 비해밀토니안 변형 역시 정규 주기적 해와 혼돈적 해를 모두 지지하며, PT 대칭 없이도 혼돈 행동의 강건성을 추가로 확인한다.
• 분기 다이어그램과 파워 스펙트럼은 주기적 운동에서 혼돈적 운동으로의 전이를 보여주며, 혼돈 영역에서는 특징적인 스펙트럼 특성이 관찰된다.