[논문 리뷰] Complex geodesics and complex Monge-Ampère equations with boundary singularity

Jimmy Xiangji Huang, Xieping Wang|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 02.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 37인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{C}^n$ 내의 유계 강한 선형으로 볼록한 도메인에서 $C^3$-연속 경계를 가진 경우, 복소 지표선의 유일성을 확립한다. 이는 최소한의 정규성 조건 하에서도 성립한다. 이 유일성과 레멘트의 존재 결과를 바탕으로, 경계에 고정된 특이성을 갖는 동차 복소 맨고-암페르 방정식을 해결하는 다항복소 포아송 핵을 구성한다. 이는 고차원으로 일반화된 고전적 포아송 핵을 의미한다.

ABSTRACT

We study complex geodesics and complex Monge-Ampère equations on bounded strongly linearly convex domains in $\mathbb C^n$. More specifically, we prove the uniqueness of complex geodesics with prescribed boundary value and direction in such a domain, when its boundary is of minimal regularity. The existence of such complex geodesics was proved by the first author in the early 1990s, but the uniqueness was left open. Based on the existence and the uniqueness proved here, as well as other previously obtained results, we solve a homogeneous complex Monge-Ampère equation with prescribed boundary singularity, which was first considered by Bracci et al. on smoothly bounded strongly convex domains in $\mathbb C^n$.

연구 동기 및 목표

• 최소한의 경계 정규성 조건($C^3$)을 가진 유계 강한 선형으로 볼록한 도메인에서 복소 지표선에 대한 오랜 동안 열려 있던 문제인 유일성 문제를 해결한다.
• 복소 지표선 이론을 $C^{m,\alpha}$ 정규성 조건을 초월하여 오직 $C^3$ 경계를 갖는 도메인으로 확장함으로써, 구성의 강건성을 확보한다.
• 유일성 결과를 응용하여 경계에 고정된 특이성을 갖는 동차 복소 맨고-암페르 방정식을 해결하고, 고전적 포아송 핵을 고차원으로 일반화한다.
• 복소 포아송 핵과 다항복소 그린 함수 사이의 관계를 보스만 함수와 경계 도함수를 통해 설정한다.
• 더 강한 정규성 조건 하에서 알려진 해들과 일치함을 보여주어, 이전 연구 결과와의 일致성을 검증한다.

제안 방법

• 변형 기법과 코바야시-로이든 거리계를 이용하여 $C^3$ 강한 선형으로 볼록한 도메인에서 복소 지표선에 대한 경계 유일성 결과를 증명한다.
• 고정된 경계 점에서 출발하는 복소 지표선의 층을 구성함으로써, 이 결과를 활용한다.
• 다항복소 포아송 핵 $P_{\Omega,p}$를 동차 복소 맨고-암페르 방정식 $\mathrm{MA}(u) = 0$의 해로 정의한다. 이는 $p \in \partial\Omega$에서 주어진 특이성을 갖는다.
• 복소 지표선 $\varphi$의 쌍대 사상 $\varphi^*$를 사용하여 내적 $\langle \varphi', \overline{\varphi^*} \rangle = 1$을 통해 해의 경계 행동을 유도한다.
• 모든 $v \in L_p$에 대해 $P_{\Omega,p} \circ \varphi_v = -P / \langle v, \nu_p \rangle^2$ 라는 항등식을 확립함으로써, 해와 지표선 역학 간의 연결 고리를 형성한다.
• 보스만 함수와 도함수 $\partial g_\Omega / \partial \nu_p$를 통해 해를 다항복소 그린 함수와 연결함으로써, $P_{\Omega,p}(z,p) = -\partial g_\Omega / \partial \nu_p(z,p)$ 를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유계 강한 선형으로 볼록한 도메인에서 경계 점과 방향이 주어진 복소 지표선은 $C^3$ 경계 조건 하에서 유일한가?
• RQ2 복소 지표선의 유일성은 $C^{m,\alpha}$ 정규성 조건을 초월하여 최소한의 정규성 조건 하에서도 확립될 수 있는가?
• RQ3 복소 지표선의 존재성과 유일성은 경계에 고정된 특이성을 갖는 동차 복소 맨고-암페르 방정식의 해를 구성하는 데 허용하는가?
• RQ4 구성된 다항복소 포아송 핵은 단위 원판에서의 고전적 포아송 핵과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 문헌에서 알려진 해들, 예를 들어 브라치-파트리치오 또는 BPT의 결과와 비교했을 때, 방정식의 해 $P_{\Omega,p}$는 일致하는가?

주요 결과

• 유계 강한 선형으로 볼록한 도메인에서 경계 점과 방향이 주어진 복소 지표선은 $C^3$ 경계 조건 하에서 유일하게 결정된다.
• 경계에 고정된 특이성을 갖는 동차 복소 맨고-암페르 방정식의 해 $P_{\Omega,p}$는 복소 지표선의 층을 통해 구성된다.
• 모든 $v \in L_p$에 대해 $P_{\Omega,p} \circ \varphi_v = -P / \langle v, \nu_p \rangle^2$ 를 만족하며, 이때 $\varphi_v$는 선호되는 복소 지표선이다.
• 도메인이 $C^\infty$-정규성과 강한 볼록성을 만족할 경우, Bracci-Patrizio가 구성한 해와 일치한다.
• 다음 항등식을 만족한다: $P_{\Omega}(z,p) = -\partial g_\Omega / \partial \nu_p(z,p)$로써, 다항복소 그린 함수와 보스만 함수와의 관계를 설정한다.
• $C^3$ 경계 조건을 갖는 강한 선형으로 볼록한 도메인의 퍼텐셜 컴acts의 경계는 유클리드 경계와 위상동형이며, 이를 통해 폴레츠키의 결과를 더 정규성 조건이 약한 도메인으로 확장한다.