[논문 리뷰] Complex hyperbolic hyperplane complements

Igor Belegradek|arXiv (Cornell University)|2007. 11. 30.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 19인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 코디멘션-2의 전체 지오데식 부분다양체를 제거한 복소 하이퍼볼릭 $n$-다양체의 위상수학적 구조와 기하학적 성질을 연구한다. 보완부분에 대해 완전하고 유한체적, 음의 곡률을 갖는 메트릭을 구성함으로써, 기본군이 상대적으로 하이퍼볼릭임을 증명하고, 강력한 격리성과 알고리즘적 성질을 갖는다는 것을 보이며, $n > 1$일 경우 Mostow 유형의 격리성과 Baum-Connes 추측을 만족시킨다.

ABSTRACT

We study spaces obtained from a complete finite volume complex hyperbolic n-manifold M by removing a compact totally geodesic complex (n-1)-submanifold. The main result is that the fundamental group of M-S is relatively hyperbolic, relative to fundamental groups of the ends of M-S, and M-S admits a complete finite volume A-regular Riemannian metric of negative sectional curvature. It follows that for n>1 the fundamental group of M-S satisfies Mostow-type Rigidity, has finite asymptotic dimension and rapid decay property, satisfies Borel and Baum-Connes conjectures, is co-Hopf and residually hyperbolic, has no nontrivial subgroups with property (T), and has finite outer automorphism group. Furthermore, if M is compact, then the fundamental group of M-S is biautomatic and satisfies Strong Tits Alternative.

연구 동기 및 목표

• 완전하고 유한체적 복소 하이퍼볼릭 $n$-다양체 $M$에서 컴팩트한 전체 지오데식 복소 $(n-1)$-부분다양체 $S$를 제거한 경우의 기본군을 이해하는 것.
• $M \setminus S$에 대해 음의 섹션 곡률을 갖는 완전하고 유한체적 리만 메트릭을 구성하는 것.
• $M \setminus S$의 기본군이 경계 성분의 기본군들에 대해 상대적으로 하이퍼볼릭임을 확립하는 것.
• 기본군에 대해 강력한 대수적 및 기하학적 격리성 성질을 유도하는 것, 특히 단어 문제와 공轭 문제의 해법 가능성 및 유한 외부자기환군의 존재를 포함한다.
• 기본군이 Borel 및 Baum-Connes 추측을 만족하고, 빠른 감쇠 성질을 갖는다는 것을 증명하는 것.

제안 방법

• S 주변의 반경 함수를 사용하여 $M \setminus S$에 대해 워프드 프로덕트 메트릭을 구성하고, 리만 곡률 텐서의 명시적 계산을 통해 곡률을 통제하는 것.
• 메트릭의 $A$-정규성 확보를 위해 $C^2$-정규화 절차를 적용하고, 콘볼루션 및 변형 기법을 사용하여 곡률 한계를 유지하는 것.
• 특히 $h_i(r) = \sqrt{g_r(X_i,X_i)}$를 포함하는 섹션 곡률 항목에 대해 [BW04]의 워프드 프로덕트 곡률 공식을 사용하고, [Bel]에서 수정된 내용을 적용하는 것.
• 구축된 메트릭과 경계 성분의 구조를 바탕으로 Gromov의 정의를 검증함으로써 상대 하이퍼볼릭성을 증명하는 것.
• A-정규 곡률가 음의 곡률를 갖는 메트릭이 Borel 및 Baum-Connes 추측을 암시한다는 점을 [FJ98] 및 [Laf02]의 결과를 적용하여 유도하는 것.
• A-정규 메트릭 이론과 그 변형을 사용하여 메트릭이 원래 메트릭에 대해 $C^1$-근접하면서도 음의 곡률를 유지하도록 보장하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한체적 복소 하이퍼볼릭 $n$-다양체에서 전체 지오데식 $(n-1)$-부분다양체를 제거한 보완부분 $M \setminus S$는 음의 섹션 곡률을 갖는 완전하고 유한체적 메트릭을 갖는가?
• RQ2 $M \setminus S$의 기본군은 경계 성분의 기본군들에 대해 상대적으로 하이퍼볼릭인가?
• RQ3 $n > 1$일 경우 $\pi_1(M \setminus S)$는 어떤 대수적 및 기하학적 격리성 성질을 만족하는가?
• RQ4 $M \setminus S$는 음의 곡률를 갖는 완전한 $A$-정규 메트릭을 갖는가? 그리고 $K$-이론과 군 성질에 대해 어떤 함의를 갖는가?
• RQ5 Mostow 유형의 격리성은 $M \setminus S$의 기본군으로 확장 가능한가?

주요 결과

• $M \setminus S$는 제어된 곡률 항목을 갖는 워프드 프로덕트 메트릭을 통해 완전하고 유한체적 메트릭을 갖으며, 섹션 곡률이 $\leq -1$임을 증명함.
• $\pi_1(M \setminus S)$는 비원소적이며, 경계 성분의 기본군들에 대해 강력하게 상대적으로 하이퍼볼릭임.
• $n > 1$일 경우, $\pi_1(M \setminus S)$는 Mostow 유형의 격리성 성질을 만족함: 두 보완부분 사이의 호모토피 동치는 항상 매립된 다양체의 등장사상으로 유일하게 올라감.
• $\pi_1(M \setminus S)$의 외부자기환군은 유한하고, 이 군은 co-Hopf이자 잔여 하이퍼볼릭임.
• $\pi_1(M \setminus S)$는 Borel 및 Baum-Connes 추측을 만족하고, 유한한 점근적 차원을 가지며, 빠른 감쇠 성질을 갖음.
• $M$이 컴팩트할 경우, $\pi_1(M \setminus S)$는 이중자동이고 강력한 타이츠 대체법칙을 만족함.