[논문 리뷰] Complex Hyperbolic Structures on Disc Bundles over Surfaces. II. Example of a Trivial Bundle

Sasha Anan’in, Nikolay Gusevskii|ArXiv.org|2005. 12. 17.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 8인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 복소 하이퍼볼릭 기하학에서 오랫동안 열려 있던 문제를 해결하면서, 종수 2 표면 위의 자명한 디스크 병렬성에 대해 복소 하이퍼볼릭 구조를 구성한다. 복소 하이퍼볼릭 평면에서 세 개의 복소 반사로 생성된 이산 군을 사용하여, 교차하는 이등분선을 통해 기본 다면체를 수립함으로써, 비정수 토울란드 불변량을 확보하고, holomorphic 섹션의 존재에 필수적인 관계 $2(\chi + e) = 3\tau$ 를 확인한다.

ABSTRACT

This article is based on the methods developed in [AGG]. We construct a complex hyperbolic structure on a trivial disc bundle over a closed orientable surface $Σ$ (of genus 2) thus solving a long standing problem in complex hyperbolic geometry (see [Gol1, p. 583] and [Sch, p. 14]). This example answers also [Eli, Open Question 8.1] if a trivial circle bundle over a closed surface of genus >1 admits a holomorphically fillable contact structure. The constructed example M satisfies the relation $2(χ+e)=3τ$ which is necessary for the existence of a holomorphic section of the bundle, where $χ=χΣ$ stands for the Euler characteristic of $Σ$, e=eM, for the Euler number of the bundle, and $τ$, for the Toledo invariant. (The relation is also valid for the series of examples constructed in [AGG].) Open question: Does there exist a holomorphic section of the bundle M?

연구 동기 및 목표

• 종수 >1인 닫힘 양면 표면 위의 자명한 디스크 병렬성에 복소 하이퍼볼릭 구조가 존재할 수 있는지 여부에 대한 열린 문제를 해결하기 위해.
• 종수 2 표면 위의 자명한 병렬성에 대해 이러한 구조의 구체적 예를 구성하기 위해.
• 구성된 예에 대해 위상 불변량 관계 $2(\chi + e) = 3\tau$ 를 검증하기 위해, 이는 holomorphic 섹션의 존재에 필수적이다.
• [AGG] 및 [Eli, Open Question 8.1]에서 제기된 바와 같이, 구성된 복소 하이퍼볼릭 디스크 병렬성에서 holomorphic 섹션의 존재 여부를 조사하기 위해.

제안 방법

• 복소 하이퍼볼릭 평면 $\mathbb{H}_{\mathbb{C}}^2$ 에서 세 개의 복소 반사 $R_1, R_2, R_3$ 로 생성된 이산 군 $T$ 를 구성한다. 여기서 $R_1, R_2$ 는 점 반사이고, $R_3$ 는 실수 평면에 대한 반사이다.
• 관계 $(R_3 R_1 R_2 R_3 R_2 R_1)^2 = 1$ 을 도입하여 $\mathrm{SU}(2,1)$ 의 이산 부분군을 정의하며, 이는 $\mathbb{H}_{\mathbb{C}}^2$ 에서 올바르게 이산적으로 작용한다.
• 공통 절삭선을 가진 교차하는 이등분선 삼각형을 사용하여 군 $T$ 에 대한 기본 다면체를 구성하며, [AGG]의 방법을 통해 이산성을 보장한다.
• 특정 $\mathbb{C}$-기저 $p_1, p_2, p_3 \in V$ 를 사용하며, $t, t_1, t_2$ 라는 매개변수들이 $t^2 + t_1^2 + t_2^2 - t t_1 t_2 > 1$ 을 만족하도록 설정하여 필요한 지오데식과 이등분선의 존재를 보장한다.
• 기하 기준, 예를 들어 기준 I.2.5.4 및 보조정리 I.5.4.3 을 적용하여 이등분선 삼각형 $\Delta(C_1, C_2, C_3)$ 의 교차성, 방향성, 타원성 여부를 검증한다.
• 복소 내적의 실수부에 대한 양성 조건을 검증하여 각도 $\beta_i$ 가 $(0, \pi/2)$ 에 속하도록 하며, 이로 인해 $\beta_1 + \beta_2 + \beta_3 < \pi$ 가 성립함을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 종수 2인 닫힘 양면 표면 위의 자명한 디스크 병렬성에 복소 하이퍼볼릭 구조가 존재하는가?
• RQ2 비정수 토울란드 불변량을 가진 복소 하이퍼볼릭 디스크 병렬성에 대해 관계 $2(\chi + e) = 3\tau$ 가 성립할 수 있는가?
• RQ3 구성된 예에서 토울란드 불변량 $\tau$ 가 비정수인가, 이는 holomorphic 섹션의 부재를 암시하는가?
• RQ4 구성된 예가 holomorphic 섹션의 존재에 필수적인 위상 조건을 만족하는가?
• RQ5 세 개의 복소 반사로 생성된 $\mathrm{SU}(2,1)$ 의 이산 군이 표면 위로 피브리레이션되는 유한체적 복소 하이퍼볼릭 다양체를 생성할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 종수 2 표면 위의 자명한 디스크 병렬성에 대해 복소 하이퍼볼릭 구조를 구성하여, 복소 하이퍼볼릭 기하학에서 오랫동안 열려 있던 문제를 해결한다.
• 구성된 예는 관계 $2(\chi + e) = 3\tau$ 를 만족하며, 여기서 $\chi = -2$, $e = 0$, $\tau$ 는 비정수이다. 이는 holomorphic 섹션의 존재에 필수적인 조건을 확인한다.
• 토울란드 불변량 $\tau$ 는 비정수이며, $\mathrm{SU}(2,1)$ 에서 $(R_3 R_1 R_2 R_3 R_2 R_1)^2 \neq 1$ 이므로, 표현이 정수적이지 않음을 입증한다.
• 특히 $t = 2.22$ 일 때, 매개변수 $t_1 = 2.23$, $t_2 = 3.22$ 는 모든 요구 조건을 만족한다. 식 (3)은 4.33을, 식 (4)는 1.44와 1.56을, 식 (5)는 1.86을, 식 (6)은 $-7.63 - i \cdot 4.41$ 을, 식 (7)과 (8)은 각각 양의 실수부와 248.24를 제공한다.
• 이등분선 삼각형 $\Delta(C_1, C_2, C_3)$ 는 교차하며, 반시계 방향으로 방향이 정해지고, 타원적이다. 모든 각도 $\beta_i \in (0, \pi/2)$ 이며 합이 $< \pi$ 이므로, 기본 도메인에 적합한 기하적 구성임을 확인한다.
• 요구 조건을 만족하는 비영의 등방성 벡터 $w_3$ 가 존재함을 확인함으로써, 기하적 일致성과 군 작용의 비퇴화성을 입증한다.