[논문 리뷰] Complex instruction set computing architecture for performing accurate quantum $Z$ rotations with less magic

Andrew J. Landahl, Chris Cesare|arXiv (Cornell University)|2013. 02. 13.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 49인용 수 26

한 줄 요약

이 논문은 고장 내성 양자 계산을 위한 복합 명령어 집합 아키텍처(CISC)를 제안하며, $2 \leq k \leq k_{\text{max}}$ 범위에서 $Z(\pi/2^k)$ 게이트를 직접 마법 상태를 준비하여 정확한 $Z$-회전을 가능하게 한다. 길이 $2^{k+2}-1$인 단순화된 양자 Reed-Muller 코드를 사용하여, $k \leq 6$일 경우 마법 상태 정제 임계값이 0.85%를 초과하는 전이적 구현을 달성하며, 표준 RISC 접근 방식에 비해 자원 오버헤드를 크게 감소시킨다.

ABSTRACT

We present quantum protocols for executing arbitrarily accurate $π/2^k$ rotations of a qubit about its $Z$ axis. Reduced instruction set computing ( extsc{risc}) architectures typically restrict the instruction set to stabilizer operations and a single non-stabilizer operation, such as preparation of a "magic" state from which $T = Z(π/4)$ gates can be teleported. Although the overhead required to distill high-fidelity copies of this magic state is high, the subsequent quantum compiling overhead to realize $Z$ rotations in a extsc{risc} architecture can be much greater. We develop a complex instruction set computing ( extsc{cisc}) architecture whose instruction set includes stabilizer operations and preparation of magic states from which $Z(π/2^k)$ gates can be teleported, for $2 \leq k \leq k_{ ext{max}}$. This results in a substantial overall reduction in the number of gates required to achieve a desired gate accuracy for $Z$ rotations. The key to our construction is a family of shortened quantum Reed-Muller codes of length $2^{k+2}-1$, whose magic-state distillation threshold shrinks with $k$ but is greater than 0.85% for $k \leq 6$.

연구 동기 및 목표

• 고장 내성 양자 계산에서 임의의 정밀도 $Z$-회전을 구현하기 위해 필요한 자원 오버헤드를 줄이는 것.
• RISC 아키텍처에서 $T = Z(\pi/4)$ 게이트를 위해 단일 마법 상태를 정제하는 데 의존함으로써 발생하는 높은 양자 컴파일 오버헤드를 극복하는 것.
• 다양한 $Z(\pi/2^k)$ 게이트를 직접 지원하는 복합 명령어 집합 컴퓨팅(CISC) 아키텍처를 개발하는 것.
• 전이적 구현을 가능하게 하는 양자 코드를 규명하여 $Z(\pi/2^k)$ 회전을 수행하는 것.
• 단순화된 $\overline{RM}(1,k+2)$ 코드가 $2^{k+1}$-가분성을 지닌다는 것을 입증하고, 높은 정제 임계값을 갖는 정확한 $Z$-회전을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• RISC 아키텍처를 확장하여, $2 \leq k \leq k_{\text{max}}$ 범위에서 $Z(\pi/2^k)$ 게이트를 위한 마법 상태 준비를 포함함으로써, 단지 $T = Z(\pi/4)$에 의존하는 것과는 다름.
• 논리적 큐비트를 위한 기초 양자 코드로 길이 $2^{k+2}-1$인 단순화된 양자 Reed-Muller 코드를 사용함.
• 전이적 $Z_k$ 연산은 Ward의 $2^{k+1}$-가분성 고전 코드를 위한 나눗셈 테스트에서 유도된 일반화된 $k$-직교 조건을 활용하여 구현됨.
• 조건은 $H^X$ 생성 행렬의 임의의 $j$개 행의 성분별 곱의 해밍 무게가 $1 \leq j \leq k+1$ 범위에서 $2^{k+2-j}$로 나누어떨어져야 함을 요구함.
• 코드의 $H^X$ 행렬이 이 조건을 만족하고 $n \equiv a \bmod 2^{k+1}$일 경우, 논리적 $Z_k^a$ 게이트는 전이적으로 구현됨.
• 이 방법은 코드의 행렬 공간이 $2^{k+1}$-가분성을 갖는다는 사실을 활용하여, 전이적 $Z_k$의 위상 누적이 필요한 회전과 일치함을 보장함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 직접적으로 여러 $Z(\pi/2^k)$ 게이트를 지원하는 CISC 아키텍처가 RISC 아키텍처에 비해 양자 컴파일의 자원 비용을 줄일 수 있는가?
• RQ2 어떤 양자 코드 구조가 임의의 $k$에 대해 $Z(\pi/2^k)$ 회전의 전이적 실행을 가능하게 하는가?
• RQ3 단순화된 Reed-Muller 코드를 사용하는 $Z(\pi/2^k)$-기반 프로토콜의 마법 상태 정제 임계값은 얼마인가?
• RQ4 일반화된 $k$-직교 조건은 이전 연구에서 사용된 삼중 직교 조건을 어떻게 일반화하는가?
• RQ5 $2^{k+1}$-가분성 고전 코드는 양자 오류 정정에 활용하기 위해 효율적으로 구성되고 검증될 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 CISC 아키텍처는 $T$-게이트 텔레포테이션에 의존하는 대신 $Z(\pi/2^k)$ 게이트를 위한 마법 상태를 직접 준비함으로써 정확한 $Z$-회전을 구현하기 위한 자원 오버헤드를 감소시킴.
• 길이 $2^{k+2}-1$인 단순화된 $\overline{RM}(1,k+2)$ 코드는 $H^X$ 생성 행렬이 Ward의 나눗셈 테스트에서 유도된 $k$-직교 조건을 만족할 경우 전이적 $Z(\pi/2^k)$ 회전을 지원함.
• 이 코드의 마법 상태 정제 임계값은 $k \leq 6$일 경우 0.85%를 초과하여 높은 고장 내성 임계값을 나타냄.
• 임의의 $j$개 행의 성분별 곱의 해밍 무게가 $1 \leq j \leq k+1$ 범위에서 $2^{k+2-j}$로 나누어떨어지면, $Z(\pi/2^k)^a$의 전이적 구현이 보장됨.
• 홀수 $a$에 대해, 확장 유클리드 알고리즘을 활용해 역수 지수를 찾음으로써 반복 적용을 통해 $Z(\pi/2^k)^a$를 임의의 정밀도로 근사할 수 있음.
• 이 방법은 이전 연구에서 사용된 Bravyi-Haah 삼중 직교 조건을 일반화한 $k$-직교 조건으로 확장하여, 더 넓은 범위의 코드들이 고정밀도 $Z$-회전을 지원할 수 있도록 함.