[논문 리뷰] Complex Langevin for Lattice QCD at $T=0$ and $μ\ge 0$

D. K. Sinclair, J. B. Kogut|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 07.

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions참고 문헌 11인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 복소 랑주뱅 방정식(CLE)에 게이지 냉각을 적용하여 영온도 및 유한한 화학포텐셜 μ에서 2-플레이벌 라티스 QCD를 시뮬레이션한다. 이는 올바른 상전이 구조와 물리량을 재현할 수 있는지 테스트한다. β=5.6에서 12⁴ 격자에서 CLE는 μ≈mN/3 근처에서 상전이를 보이나, 캐릭터 조건 및 플라켓과 같은 물리량에서 체계적 편차를 보인다. 그러나 더 약한 결합 상수 β=5.7에서 더 큰 16⁴ 격자에서는 기존 결과와의 일치가 크게 향상되어, CLE가 약한 결합 및 연속극한에서 정확한 결과를 도출할 수 있음을 시사한다.

ABSTRACT

QCD at finite quark-/baryon-number density, which describes nuclear matter, has a sign problem which prevents direct application of standard simulation methods based on importance sampling. When such finite density is implemented by the introduction of a quark-number chemical potential $μ$, this manifests itself as a complex fermion determinant. We apply simulations using the Complex Langevin Equation (CLE) which can be applied in such cases. However, this is not guaranteed to give correct results, so that extensive tests are required. In addition, gauge cooling is required to prevent runaway behaviour. We test these methods on 2-flavour lattice QCD at zero temperature on a small ($12^4$) lattice at an intermediate coupling $β=6/g^2=5.6$ and relatively small quark mass $m=0.025$, over a range of $μ$ values from $0$ to saturation. While this appears to show the correct phase structure with a phase transition at $μ\approx m_N/3$ and a saturation density of $3$ at large $μ$, the observables show departures from known values at small $μ$. We are now running on a larger lattice ($16^4$) at weaker coupling $β=5.7$. At $μ=0$ this significantly improves agreement between measured observables and known values, and there is some indication that this continues to small $μ$s. This leads one to hope that the CLE might produce correct results in the weak-coupling -- continuum -- limit.

연구 동기 및 목표

• 유한한 바리온 밀도에서 표준 방법이 부호 문제로 실패하는 조건에서, 게이지 냉각을 적용한 복소 랑주뱅 방정식(CLE)이 라티스 QCD를 시뮬레이션하는 데 있어 타당성을 시험하는 것.
• CLE가 μ≈mN/3에서 핵물질로의 전이와 큰 μ에서의 포화를 포함한 QCD의 상 구조를 정확히 재현할 수 있는지 확인하는 것.
• 작은 격자에서의 체계적 오차—특히 캐릭터 조건 및 플라켓—를 평가하고, 더 큰 격자와 더 약한 결합 상수에서의 개선 여부를 분석하는 것.
• fermion 행렬식의 극점으로 인해 이동항의 해석적 성질이 깨지지만, CLE가 약한 결합 및 연속극한에서 정확한 분포로 수렴할 수 있는지 조사하는 것.
• 색초도전도성과 유한온도에서의 임계점과 같은 고μ 상을 연구하는 데 CLE의 잠재력을 탐색하는 것.

제안 방법

• 유한한 μ에서 복소 행렬식을 가진 QCD를 시뮬레이션할 수 있도록, SU(3) 게이지 장을 SL(3,C)로 확장하여 복소장으로 일반화된 표준 랑주뱅 방정식을 적용한다.
• 진화 과정 중에 구성 상태를 SU(3) 다양체로 투영함으로써 달아오르는 행동을 억제하는 게이지 냉각을 구현한다. 이는 필드 크기의 무한한 증가를 방지한다.
• 스테이거드 디랙 연산자 M(U,μ)를 사용하여 시스템을 기술하는 복소 작용 S(U,μ) = β∑□{1−1/6Tr[UUUU+(UUUU)⁻¹]} − Nf/4 Tr{ln[M(U,μ)]}를 사용한다.
• 복소 노이즈 항 ηₗ을 포함한 확률 미분 방정식을 통해 게이지 장을 진화시키며, 랑주뱅 시간에서 적절한 정규화와 가우시안 화이트 노이즈를 확보한다.
• μ=0 및 μ>0 조건에서 12⁴ 및 16⁴ 격자에서 시뮬레이션을 수행하고, RHMC에서의 기준 결과와 비교하여 플라켓, 캐릭터 조건, 쿼크 수 밀도 등의 물리량을 분석한다.
• 유한한 격자 크기 및 유한한 시간 단계 효과를 평가하기 위해 β와 격자 크기를 체계적으로 변화시켜, 약한 결합 및 연속극한에 접근한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 T=0에서 2-플레이벌 QCD에서 μ≈mN/3 근처에서 핵물질로의 전이를 CLE에 게이지 냉각을 적용한 방식이 정확히 재현할 수 있는가?
• RQ2 β=5.6에서 12⁴ 격자에서 CLE 시뮬레이션은 플라켓 및 캐릭터 조건과 같은 알려진 물리량에서 얼마나 큰 체계적 편차를 보이는가?
• RQ3 격자 크기(16⁴)와 결합 강도(β=5.7)의 향상이 μ=0에서 CLE 결과와 기준값 간의 일치도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 fermion 행렬식의 영점으로 인해 이동항이 해석적 성질을 잃는다 하더라도, CLE가 약한 결합 및 연속극한에서 정확한 분포로 수렴할 수 있는가?
• RQ5 게이지 냉각 또는 이동항에 어떤 수정을 가해야 CLE의 실패를 줄이고 정확한 결과로의 수렴을 향상시킬 수 있는가?

주요 결과

• β=5.6, m=0.025에서 12⁴ 격자에서 CLE 시뮬레이션은 μ≈0.33(mN/3) 근처에서 상전이를 보이나, 물리량에서 체계적 편차가 존재한다.
• 캐릭터 조건은 전이 이전에 일정하게 유지되어야 할 부분에서 μ 증가에 따라 단조롭게 감소하여 기대되는 행동과 상당한 이격을 보인다.
• 작은 μ에서 플라켓은 알려진 값에서 작은 비제로 편차를 보이며, 큰 μ에서 쿼크 수 밀도는 정확히 3으로 포화된다.
• β=5.7에서 16⁴ 격자에서는 CLE의 플라켓(0.42374(4))과 캐릭터 조건(0.1738(11))이 RHMC 결과(각각 0.42305(1) 및 0.1754(2))와 뚜렷한 일치를 보인다.
• μ=0에서 플라켓의 체계적 오차는 약 2배 감소했고, 캐릭터 조건의 경우 거의 10배 감소하여, CLE가 약한 결합 및 연속극한에서 정확한 결과를 도출할 수 있음을 시사한다.
• β=5.7에서 16⁴ 격자에서 μ>0 조건에서의 초도 결과는 계속해서 기존 값과의 일치가 향상되고 있음을 보여, CLE가 연속극한에서 타당할 수 있다는 희망을 뒷받침한다.